24.23 Para obter uma estimativa do tamanho de uma nova represa, você deve determinar o volume total de água que escoa por um rio no período de um ano. Estão disponíveis os seguintes dados médios a longo prazo para o rio:
Dados em
meados de
Vazão, 30 38 82 125 95 20 22 24 35
Determine o volume. Tome cuidado com as unidades e para fazer estimativas corretas nas extremidades.

Passo 1

O enunciado pede o volume total de água que escoa por um rio em um ano, dada a vazão média em nove instantes igualmente espaçados (dados “em meados de …”). O conteúdo principal é aplicar a regra do trapézio composta para aproximar
V ;=;integral0^1,anoQ(t),dt
e em seguida converter a resposta para m^3. Precisaremos também estimar a vazão nos instantes iniciais e finais (em t=0 e t=1 ano) por extrapolação linear.

Passo 2

Convertemos um ano em segundos para obter o volume em m^3.
1 ano=365cdot24cdot3600=31,536,000;s

Passo 3

As nove vazões fornecidas são
Q1=30,;Q2=38,;Q3=82,;Q4=125,;Q5=95,;Q6=20,;Q7=22,;Q8=24,;Q9=35 (m^3/s)
Como estão em pontos médios igualmente espaçados ao longo do ano, a separação entre dois pontos consecutivos vale
h=tfrac1 ano9approx0,11111 ano
Para usar a regra do trapézio precisamos de Q0 em t=0 e Q10 em t=1. Vamos extrapolar linearmente:
Q0=2Q1-Q2=2cdot30-38=22, Q10=2Q9-Q8=2cdot35-24=46

Passo 4

Aplicamos a regra do trapézio composta
integral0^1Q(t),dt approx hl(tfrac12Q0+sumi=1^9Qi+tfrac12Q10r)
Calculamos
sumi=1^9Qi =30+38+82+125+95+20+22+24+35=471,
tfrac12Q0+sumi=1^9Qi+tfrac12Q10 =tfrac12cdot22+471+tfrac12cdot46 =11+471+23=505
Logo
integral0^1Q(t),dt approx 5059approx56,11(m^3/stimesano)

Passo 5

Para obter o volume anual em m^3, multiplicamos pelo número de segundos em um ano:
V approx56,11;m^3scdotanotimes31,536,000;s approx1,77times10^9;m^3

Resposta

O volume estimado de água que escoa pelo rio em um ano é aproximadamente
1,8times10^9;m^3

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