24.6 A primeira lei de difusão de Flick afirma que
em que o fluxo de massa é a quantidade de massa que passa por unidade de área por unidade de tempo ( ), é o coeficiente de difusão ( ), é a concentração e é a distância ( cm ). Um engenheiro ambiental mede as seguintes concentrações de um poluente no sedimento no fundo de um lago ( na interface se-dimento-água e aumentando para baixo):
0
1
3
0,06
0,32
0,6
Use a melhor técnica de derivação disponível para obter uma estimativa da derivada em . Empregue essa estimativa em conjunto com a Equação (P24.6) para calcular o fluxo de massa do poluente saindo do sedimento e indo para a água no fundo do lago ( ). Para um lago com de sedimentos, quanto poluente seria transportado para o lago em um período de um ano?
Passo 1
O enunciado dá a primeira lei de difusão de Fick,
once as unidades são para o fluxo, para , e para a concentração . Foram medidas as concentrações no sedimento em ,cm com valores , , ,g/cm.
Pede-se: . Estimar usando a melhor técnica (três pontos). 2. Usar esse dcdx em Fick para achar o fluxo no fundo do lago (D=1,52times10^-6,cm^2/s). 3. Para área de sedimento 3,6times10^6,m^2, calcular massa total transportada em um ano.
Passo 2
Vamos ajustar um polinômio de grau passando por , e . Pela forma de Lagrange, a derivada no ponto é\r
\r
com\r
\r
Aqui . Calculamos:\r
Passo 3
Convertendo ci em g/cm^3: c0=0,06times10^-6=6,0times10^-8,; c1=3,2times10^-7,; c2=6,0times10^-7
Logo
Pela lei de Fick,\r
[g/cm^2/s].\r
O sinal negativo indica transporte para cima (sedimento to água).
Passo 5
A área de sedimento é 3,6times10^6,m^2 = 3,6times10^10,cm^2.
A massa por unidade de tempo total é 4,56times10^-13times3,6times10^10 =1,64times10^-2 ,[g/s].
Em um ano (3,154times10^7,s), a massa é 1,64times10^-2times3,154times10^7 approx5,18times10^5 ,[g] =;518 kg.
Resposta
O gradiente estimado é dfracdcdx|0=3,0times10^-7,g/cm^4,
o fluxo é -4,56times10^-13,g/cm^2/s,
e o total transportado num ano é aproximadamente 5,18times10^5,g (approx 518 kg).
Cálculo Numérico - Steven C. Chapra, Raymond P. Canale - Métodos Numéricos para Engenharia - 5ª Edição - Capítulo 24.Problemas - Ex. 24.6