24.6 A primeira lei de difusão de Flick afirma que
em que o fluxo de massa é a quantidade de massa que passa por unidade de área por unidade de tempo ( ), é o coeficiente de difusão ( ), é a concentração e é a distância ( cm ). Um engenheiro ambiental mede as seguintes concentrações de um poluente no sedimento no fundo de um lago ( na interface se-dimento-água e aumentando para baixo):
0 1 3
0,06 0,32 0,6
Use a melhor técnica de derivação disponível para obter uma estimativa da derivada em . Empregue essa estimativa em conjunto com a Equação (P24.6) para calcular o fluxo de massa do poluente saindo do sedimento e indo para a água no fundo do lago ( ). Para um lago com de sedimentos, quanto poluente seria transportado para o lago em um período de um ano?

Passo 1

O enunciado dá a primeira lei de difusão de Fick,
fluxo de massa = -D,dcdx,
once as unidades são g/cm^2/s para o fluxo, cm^2/s para D, e g/cm^3 para a concentração c. Foram medidas as concentrações no sedimento em
;x=0,,1,,3,cm com valores
;c(0)=0,06times10^-6,
;c(1)=0,32times10^-6,
;c(3)=0,60times10^-6,g/cm ^3.
Pede-se:
1. Estimar dcdx|x=0 usando a melhor técnica (três pontos).
2. Usar esse dcdx em Fick para achar o fluxo no fundo do lago ( D=1,52times10^-6,cm ^2/s).
3. Para área de sedimento 3,6times10^6,m ^2, calcular massa total transportada em um ano.

Passo 2

Vamos ajustar um polinômio de grau passando por , e . Pela forma de Lagrange, a derivada no ponto é\r
\r
com\r
\r
Aqui . Calculamos:\r

Passo 3

Convertendo ci em g/cm ^3:
c0=0,06times10^-6=6,0times10^-8,; c1=3,2times10^-7,; c2=6,0times10^-7
Logo
dcdx|0 = 6,0times10^-8cdot(-43) + 3,2times10^-7cdot(32) + 6,0times10^-7cdot(-16) = -8,0times10^-8 + 4,8times10^-7 - 1,0times10^-7 = 3,0times10^-7 l[g/cm^4r]

Passo 4

Pela lei de Fick,\r
[g/c m^2/s].\r
O sinal negativo indica transporte para cima (sedimento to água).

Passo 5

A área de sedimento é
3,6times10^6,m ^2 = 3,6times10^10,cm ^2.
A massa por unidade de tempo total é
4,56times10^-13times3,6times10^10 =1,64times10^-2 ,[g/s].
Em um ano ( 3,154times10^7,s), a massa é
1,64times10^-2times3,154times10^7 approx5,18times10^5 ,[g] =;518 kg.

Resposta

O gradiente estimado é
dfracdcdx|0=3,0times10^-7,g/cm ^4,
o fluxo é
-4,56times10^-13,g/cm ^2/s,
e o total transportado num ano é aproximadamente
5,18times10^5,g ( approx 518 kg).

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