Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule
, (b) calcule
, (c) calcule
, (d) calcule
, e (e) verifique que
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
especificamente
(a) ,
(b) ,
(c) ,
(d) ,
(e) e verificar que as mistas são iguais.
O conteúdo envolve derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia, além do teorema de Clairaut para trocar a ordem das derivadas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) e verificar que as mistas são iguais.
O conteúdo envolve derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia, além do teorema de Clairaut para trocar a ordem das derivadas.
Passo 2
Começamos calculando a derivada de primeira ordem em relação a
. Usando a regra da cadeia,
Passo 3
Agora derivamos novamente em relação a
para obter
Passo 4
Agora calculamos a derivada de primeira ordem em relação a
. Pela regra da cadeia,
Passo 5
Derivando novamente em relação a
,
Passo 6
Para a mista
, derivamos
em relação a
:
Passo 7
Para a outra ordem,
, derivamos
em relação a
:
Passo 8
Vemos que
logo as derivadas mistas coincidem, conforme o teorema de Clairaut.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) De fato, .
(b)
(c)
(d)
(e) De fato,