Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule partial^2 fpartial x^2 , (b) calcule partial^2 fpartial y^2 , (c) calcule
partial fpartial y partial x , (d) calcule partial^2 fpartial x partial y , e (e) verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y .
f(x, y)=sen(x+2 y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=sin(x+2y)
especificamente
(a) partial^2 fpartial x^2,
(b) partial^2 fpartial y^2,
(c) partial^2 fpartial ypartial x,
(d) partial^2 fpartial xpartial y,
(e) e verificar que as mistas são iguais.
O conteúdo envolve derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia, além do teorema de Clairaut para trocar a ordem das derivadas.

Passo 2

Começamos calculando a derivada de primeira ordem em relação a x. Usando a regra da cadeia,
partial fpartial x =ddxl[sin(x+2y)r] =cos(x+2y)cdotpartialpartial x(x+2y) =cos(x+2y)cdot1 =cos(x+2y)

Passo 3

Agora derivamos novamente em relação a x para obter
partial^2 fpartial x^2 =partialpartial xl[cos(x+2y)r] =-sin(x+2y)cdotpartialpartial x(x+2y) =-sin(x+2y)

Passo 4

Agora calculamos a derivada de primeira ordem em relação a y. Pela regra da cadeia,
partial fpartial y =ddyl[sin(x+2y)r] =cos(x+2y)cdotpartialpartial y(x+2y) =cos(x+2y)cdot2 =2cos(x+2y)

Passo 5

Derivando novamente em relação a y,
partial^2 fpartial y^2 =partialpartial yl[2cos(x+2y)r] =2l[-sin(x+2y)r]cdotpartialpartial y(x+2y) =2l[-sin(x+2y)r]cdot2 =-4sin(x+2y)

Passo 6

Para a mista partial^2 fpartial ypartial x, derivamos partial fpartial x=cos(x+2y) em relação a y:
partial^2 fpartial ypartial x =partialpartial yl[cos(x+2y)r] =-sin(x+2y)cdotpartialpartial y(x+2y) =-2sin(x+2y)

Passo 7

Para a outra ordem, partial^2 fpartial xpartial y, derivamos partial fpartial y=2cos(x+2y) em relação a x:
partial^2 fpartial xpartial y =partialpartial xl[2cos(x+2y)r] =2l[-sin(x+2y)r]cdotpartialpartial x(x+2y) =-2sin(x+2y)

Passo 8

Vemos que
partial^2 fpartial ypartial x =-2sin(x+2y) e partial^2 fpartial xpartial y =-2sin(x+2y),
logo as derivadas mistas coincidem, conforme o teorema de Clairaut.

Resposta

(a) partial^2 fpartial x^2=-sin(x+2y).
(b) partial^2 fpartial y^2=-4sin(x+2y).
(c) partial^2 fpartial ypartial x=-2sin(x+2y).
(d) partial^2 fpartial xpartial y=-2sin(x+2y).
(e) De fato, partial^2 fpartial ypartial x=partial^2 fpartial xpartial y.

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