Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule partial^2 fpartial x^2 , (b) calcule partial^2 fpartial y^2 , (c) calcule
partial fpartial y partial x , (d) calcule partial^2 fpartial x partial y , e (e) verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y .
f(x, y)=5 x cosh 2 y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=5xcosh(2y): (a) partial^2 fpartial x^2, (b) partial^2 fpartial y^2, (c) partial^2 fpartial ypartial x, (d) partial^2 fpartial xpartial y e (e) verificar que esses mistos são iguais. Usaremos regras de derivação parcial tratando a outra variável como constante e as regras de derivação de cosh e sinh.

Passo 2

Calcular partial fpartial x. Como y é constante, cosh(2y) é constante e
partial fpartial x =partialpartial xl(5xcosh(2y)r) =5cosh(2y)

Passo 3

Calcular partial^2 fpartial x^2 derivando novamente em x:
partial^2 fpartial x^2 =partialpartial xl(5cosh(2y)r) =0,
pois não sobra dependência em x.

Passo 4

Calcular partial fpartial y. Agora x é constante e
partial fpartial y =partialpartial yl(5xcosh(2y)r) =5xcdotl(sinh(2y)cdot 2r) =10xsinh(2y)

Passo 5

Calcular partial^2 fpartial y^2 derivando novamente em y:
partial^2 fpartial y^2 =partialpartial yl(10xsinh(2y)r) =10xcdotl(cosh(2y)cdot 2r) =20xcosh(2y)

Passo 6

Calcular partial^2 fpartial ypartial x, isto é derivar partial fpartial x em y:
partial^2 fpartial ypartial x =partialpartial yl(5cosh(2y)r) =5cdotl(sinh(2y)cdot 2r) =10sinh(2y)

Passo 7

Calcular partial^2 fpartial xpartial y, isto é derivar partial fpartial y em x:
partial^2 fpartial xpartial y =partialpartial xl(10xsinh(2y)r) =10sinh(2y)

Passo 8

Comparando os resultados dos mistos, ambos deram 10sinh(2y). Logo
partial^2 fpartial ypartial x =partial^2 fpartial xpartial y

Resposta

(a) partial^2 fpartial x^2=0
(b) partial^2 fpartial y^2=20xcosh(2y)
(c) partial^2 fpartial ypartial x=10sinh(2y)
(d) partial^2 fpartial xpartial y=10sinh(2y)
(e) partial^2 fpartial ypartial x=partial^2 fpartial xpartial y

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