Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule
, (b) calcule
, (c) calcule
, (d) calcule
, e (e) verifique que
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
: (a)
, (b)
, (c)
, (d)
e (e) verificar que esses mistos são iguais. Usaremos regras de derivação parcial tratando a outra variável como constante e as regras de derivação de
e
.
Passo 2
Calcular
. Como
é constante,
é constante e
Passo 3
Calcular
derivando novamente em
:
pois não sobra dependência em
.
Passo 4
Calcular
. Agora
é constante e
Passo 5
Calcular
derivando novamente em
:
Passo 6
Calcular
, isto é derivar
em
:
Passo 7
Calcular
, isto é derivar
em
:
Passo 8
Comparando os resultados dos mistos, ambos deram
. Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)