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Se
|an| r<|an+1|
se verifica para todo inteiro
n >= N
, onde
r
é uma constante positiva, prove que
|aN|^j<|aN+j|
se verifica para todo inteiro positivo
j
.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
O enunciado diz que existe um inteiro N e uma constante positiva r tais que, para todo inteiro n>= N, vale
lvert anrvert,r<lvert an+1rvert
Preciso provar que, para todo inteiro j>=1,
lvert aNrvert^j<lvert aN+jrvert
O conteúdo aqui é prova por indução em desigualdades, junto com iteração da hipótese lvert anrvert r<lvert an+1rvert.

Passo 2

Base da indução ( j=1)
Tomando j=1, queremos mostrar
lvert aNrvert^1<lvert aN+1rvert
Mas da hipótese para n=N temos
lvert aNrvert,r<lvert aN+1rvert
Como r>0, basta notar que lvert aNrvert<lvert aNrvert,r, e assim
lvert aNrvert<lvert aNrvert,r<lvert aN+1rvert,
logo a desigualdade desejada se verifica para j=1.

Passo 3

Passo indutivo
Suponha que, para algum j>=1, já sabemos
lvert aNrvert^,j<lvert aN+jrvert
Queremos então provar
lvert aNrvert^,j+1<lvert aN+(j+1)rvert
Pela hipótese dada, aplicando-a a n=N+j, temos
lvert aN+jrvert,r<lvert aN+j+1rvert
Agora, usando a hipótese de indução lvert aNrvert^,j<lvert aN+jrvert e multiplicando ambos os lados por r>0, obtemos
lvert aNrvert^,j,r<lvert aN+jrvert,r<lvert aN+j+1rvert
Finalmente, como lvert aNrvert<lvert aNrvert,r, podemos escrever
lvert aNrvert^,j+1 = lvert aNrvert^,jcdotlvert aNrvert < lvert aNrvert^,j,r < lvert aN+j+1rvert,
que é exatamente
lvert aNrvert^,j+1<lvert aN+(j+1)rvert

Passo 4

Conclusão por indução
Como a base j=1 está estabelecida e o passo indutivo foi demonstrado, concluímos que, para todo inteiro positivo j,
lvert aNrvert^,j<lvert aN+jrvert

Resposta

Para todo inteiro j>=1 vale
boxedlvert aNrvert^,j<lvert aN+jrvert

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