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Se
se verifica para todo inteiro
, onde
é uma constante positiva, prove que
se verifica para todo inteiro positivo
.
Se
se verifica para todo inteiro
, onde
se verifica para todo inteiro positivo
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
O enunciado diz que existe um inteiro e uma constante positiva
tais que, para todo inteiro
, vale
O enunciado diz que existe um inteiro
Preciso provar que, para todo inteiro
,
O conteúdo aqui é prova por indução em desigualdades, junto com iteração da hipótese
.
Passo 2
Base da indução (
)
Tomando , queremos mostrar
Tomando
Mas da hipótese para
temos
Como
, basta notar que
, e assim
logo a desigualdade desejada se verifica para
.
Passo 3
Passo indutivo
Suponha que, para algum , já sabemos
Suponha que, para algum
Queremos então provar
Pela hipótese dada, aplicando-a a
, temos
Agora, usando a hipótese de indução
e multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Finalmente, como
, podemos escrever
que é exatamente
Passo 4
Conclusão por indução
Como a base está estabelecida e o passo indutivo foi demonstrado, concluímos que, para todo inteiro positivo
,
Como a base
Resposta
Para todo inteiro
vale