6.3 Use (a) a iteração de ponto fixo e (b) o método de NewtonRaphson para determinar a raiz de f(x)=-x^2+1,8 x+2,5 usando x0=5. Faça os cálculos até que varepsilona seja menor do que varepsilons=0,05 %. Faça também uma verificação do erro na sua resposta final.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(x) = -x^2 + 1,8,x + 2,5
usando duas técnicas numéricas partindo de x0=5, e interrompendo quando o erro relativo aproximado
varepsilona = l| (xn+1-xn) / xn+1 r|times100%
ficar abaixo de varepsilons=0,05%. No final faremos uma verificação do erro comparando com a solução exata da equação quadrática.

Passo 2

Iteração de ponto fixo. Reescrevemos f(x)=0 como
x = g(x) = raiz,1,8,x + 2,5,,
escolha que converge porque lvert g'(x)rvert<1 perto da raiz. A regra iterativa é
xn+1 = raiz,1,8,xn + 2,5,,
e calculamos até varepsilona<0,05%. Tomando ;x0=5; obtemos:
n =0: x0=5,000000
n =1: x1=raiz1,8cdot5+2,5=raiz11,5=3,391128,
varepsilona=47,47%
n =2: x2=raiz1,8cdot3,391128+2,5=2,932742,
varepsilona=15,64%
n =3: x3=2,789438, varepsilona=5,14%
n =4: x4=2,742443, varepsilona=1,71%
n =5: x5=2,727123, varepsilona=0,56%
n =6: x6=2,722971, varepsilona=0,15%
n =7: x7=2,721602, varepsilona=0,0503%
n =8: x8=2,721194, varepsilona=0,0150%!<0,05%.
Portanto a solução por ponto fixo é
x^(PF)approx2,72119

Passo 3

Método de Newton–Raphson. A fórmula geral é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn), f'(x) = -2,x + 1,8
Com x0=5:
n =0: x0=5,00000
n =1:
f(5)=-25+9+2,5=-13,5, f'(5)=-10+1,8=-8,2
x1 = 5 - -13,5-8,2 = 3,35366, ;varepsilona=49,10%
n =2:
f(3,35366)approx -2,7104,;f'(3,35366)approx -4,90732
x2=3,35366 - -2,7104-4,90732 = 2,80122, ;varepsilona=19,72%
n =3:
f(2,80122)approx -0,3046,;f'(2,80122)approx -3,80244
x3=2,80122 - -0,3046-3,80244 = 2,72111, ;varepsilona=2,94%
n =4:
f(2,72111)approx -0,00943,;f'(2,72111)approx -3,64222
x4=2,72111 - -0,00943-3,64222 = 2,71852, ;varepsilona=0,0952%
n =5:
f(2,71852)approx -0,00015,;f'(2,71852)approx -3,63704
x5=2,71852 - -0,00015-3,63704 = 2,71848, ;varepsilona=0,00152%!<0,05%
Logo a solução por Newton–Raphson é
x^(NR)approx2,71848

Passo 4

Verificação de erro. A solução exata da equação
-x^2+1,8x+2,5=0
é
x = 1,8 pm raiz1,8^2+4cdot2,52 = 1,8 pm raiz13,242
Tomando o sinal “ +” (raiz positiva),
xexatoapprox1,8+3,638482=2,71924
Comparando:
l|x^(PF)-xexator|approx|2,72119-2,71924|=0,00195(0,072%!),
l|x^(NR)-xexator|approx|2,71848-2,71924|=0,00076(0,028%!)
O método de Newton–Raphson foi mais preciso nesta prova.

Resposta

(a) Iteração de ponto fixo: xapprox2,72119 (erro approx 0,072 %).
(b) Newton–Raphson: xapprox2,71848 (erro approx 0,028 %).

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