Do problema 23 ao 26, encontre (a) o valor máximo da derivada direcional e (b) um vetor unitário \bar{u} na direção em que a derivada direcional máxima for obtida, para cada função no ponto indicado.
g(x, y, z)=e^{x} \cos (y z) \operatorname{em}(1,0, \pi).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função g(x,y,z)=e^xcos(yz) e o ponto (1,0,pi). Precisamos de (a) o valor máximo da derivada direcional de g nesse ponto e (b) um vetor unitário bar u que indique a direção em que a derivada direcional atinge esse valor máximo. O conteúdo a usar é o gradiente: a máxima taxa de variação de g em um ponto é dada por |nabla g| e ocorre na direção de nabla g.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente nabla g=(partial g/partial x,partial g/partial y,partial g/partial z). As derivadas parciais são:
partial gpartial x=e^xcos(yz), partial gpartial y=e^xcdot(-sin(yz))cdot z, partial gpartial z=e^xcdot(-sin(yz))cdot y

Passo 3

Agora avaliamos em (1,0,pi). Como yz=0, temos cos(0)=1 e sin(0)=0. Logo,
nabla g(1,0,pi)=lang<= e,0,0rang<=

Passo 4

O valor máximo da derivada direcional em (1,0,pi) é o módulo de nabla g(1,0,pi):
|nabla g(1,0,pi)|=raize^2+0^2+0^2=e

Passo 5

A direção unitária correspondente é
bar u=nabla g(1,0,pi)|nabla g(1,0,pi)|=lang<= e,0,0rang<=e=lang<=1,0,0rang<=

Resposta

(a) e
(b) lang<=1,0,0rang<=

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