Do problema 23 ao 26, encontre (a) o valor máximo da derivada direcional e (b) um vetor unitário \bar{u} na direção em que a derivada direcional máxima for obtida, para cada função no ponto indicado.
g(x, y, z)=e^{x} \cos (y z) \operatorname{em}(1,0, \pi).
g(x, y, z)=e^{x} \cos (y z) \operatorname{em}(1,0, \pi).
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
e o ponto
. Precisamos de (a) o valor máximo da derivada direcional de
nesse ponto e (b) um vetor unitário
que indique a direção em que a derivada direcional atinge esse valor máximo. O conteúdo a usar é o gradiente: a máxima taxa de variação de
em um ponto é dada por
e ocorre na direção de
.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente
. As derivadas parciais são:
Passo 3
Agora avaliamos em
. Como
, temos
e
. Logo,
Passo 4
O valor máximo da derivada direcional em
é o módulo de
:
Passo 5
A direção unitária correspondente é
Resposta
(a)
(b)
(b)