Nos problemas de 1 a 8, calcule o limite.
(8 \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} z \operatorname{sen}\left(\frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}}\right))

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de uma função de três variáveis quando (x,y,z)to(0,0,0):
lim(x,y,z)to(0,0,0) z,sen!l(tfrac1raizx^2+y^2+z^2r)
O conteúdo principal é o uso do Teorema do Confronto (ou “Sandwich”) para funções de várias variáveis, explorando uma desigualdade que isole a expressão cujo limite queremos.

Passo 2

Sabemos que, para todo argumento real, vale
-1<= sen(t)<= 1
Aplicando isso a t=tfrac1raizx^2+y^2+z^2, obtemos
-1 <= sen!l(tfrac1raizx^2+y^2+z^2r) <= 1

Passo 3

Multiplicando a desigualdade pelo fator z, temos
-|z|;<=; z,sen!l(tfrac1raizx^2+y^2+z^2r);<=;|z|
Quando (x,y,z)to(0,0,0), fica claro que |z|to0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, se
-|z|<= f(x,y,z)<= |z|
e lim(x,y,z)to(0,0,0)|z|=0, então
lim(x,y,z)to(0,0,0)f(x,y,z)=0
Aqui f(x,y,z)=z,senl(1/raizx^2+y^2+z^2r), logo o limite é zero.

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados