Nos problemas de 1 a 8, calcule o limite.
(8 \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} z \operatorname{sen}\left(\frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}}\right))
(8 \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} z \operatorname{sen}\left(\frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}}\right))
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite de uma função de três variáveis quando
:
O conteúdo principal é o uso do Teorema do Confronto (ou “Sandwich”) para funções de várias variáveis, explorando uma desigualdade que isole a expressão cujo limite queremos.
Passo 2
Sabemos que, para todo argumento real, vale
Aplicando isso a
, obtemos
Passo 3
Multiplicando a desigualdade pelo fator
, temos
Quando
, fica claro que
.
Passo 4
Pelo Teorema do Confronto, se
e
, então
Aqui
, logo o limite é zero.