Nos problemas de 9 a 14, (a) calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) ao longo de cada um dos caminhos indicados em (i), (ii), (iii) e (iv), e (b) determine lim (x, y) 10,0) f(x, y), se existir.
9 f(x, y)=5 x y^2x^2+y^2 quando (x, y) tende a (0,0) (i) ao longo do eixo dos x, (ii) ao longo do eixo dos y, (iii) ao longo da reta y=5 x, (iv) ao longo da parábola y=x^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=5,x,y^2x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0) ao longo de quatro curvas:
(i) eixo x ( y=0),
(ii) eixo y ( x=0),
(iii) reta y=5x,
(iv) parábola y=x^2;
e depois verificar se lim(x,y)to(0,0)f(x,y) existe.

Passo 2

(i) No eixo x temos y=0. Então
f(x,0)=5,xcdot0^2x^2+0^2=0
Logo o limite ao longo do eixo x é 0.

Passo 3

(ii) No eixo y temos x=0. Então
f(0,y)=5cdot0cdot y^20+y^2=0
Logo o limite ao longo do eixo y é 0.

Passo 4

(iii) Na reta y=5x substituímos y por 5x:
fl(x,5xr) =5,x,(5x)^2x^2+(5x)^2 =5,xcdot25x^2x^2+25x^2 =125,x^326,x^2 =12526,x
À medida que xto0, isso tende a 0.

Passo 5

(iv) Na parábola y=x^2 substituímos y por x^2:
fl(x,x^2r) =5,x,(x^2)^2x^2+(x^2)^2 =5,x^5x^2+x^4 =5,x^5x^2(1+x^2) =5,x^31+x^2
Quando xto0, esse quociente vai a 0.

Passo 6

Para ver se o limite existe de forma geral, usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta. Então
f(r,theta) =5,(rcostheta),(rsintheta)^2r^2 =5,r^3costheta,sin^2!thetar^2 =5,rcostheta,sin^2!theta
Como |costheta,sin^2!theta|<=1, segue
|f(r,theta)|<=5,r,
que tende a 0 quando rto0. Logo lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0.

Resposta

(a) (i) 0, (ii) 0, (iii) 0, (iv) 0
(b) lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

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