Nos problemas de 9 a 14, (a) calcule o limite de
quando
tende a
ao longo de cada um dos caminhos indicados em (i), (ii), (iii) e (iv), e (b) determine
, se existir.
9
quando
tende a
(i) ao longo do eixo dos
, (ii) ao longo do eixo dos
, (iii) ao longo da reta
, (iv) ao longo da parábola
9
Passo 1
O enunciado pede o limite de
quando
ao longo de quatro curvas:
(i) eixo (
),
(ii) eixo (
),
(iii) reta ,
(iv) parábola ;
e depois verificar se existe.
(i) eixo
(ii) eixo
(iii) reta
(iv) parábola
e depois verificar se
Passo 2
(i) No eixo
temos
. Então
Logo o limite ao longo do eixo
é
.
Passo 3
(ii) No eixo
temos
. Então
Logo o limite ao longo do eixo
é
.
Passo 4
(iii) Na reta
substituímos
por
:
À medida que
, isso tende a
.
Passo 5
(iv) Na parábola
substituímos
por
:
Quando
, esse quociente vai a
.
Passo 6
Para ver se o limite existe de forma geral, usamos coordenadas polares:
,
. Então
Como
, segue
que tende a
quando
. Logo
.
Resposta
(a) (i) 0, (ii) 0, (iii) 0, (iv) 0
(b)
(b)