Nos problemas de 9 a 14, (a) calcule o limite de
quando
tende a
ao longo de cada um dos caminhos indicados em (i), (ii), (iii) e (iv), e (b) determine
, se existir.
quando
tende a
(i) ao longo do eixo dos
, (ii) ao longo do eixo dos
, (iii) ao longo da reta
, (iv) ao longo da curva
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
a) os limites de quando
ao longo de cada um dos caminhos (i)–(iv);
b) o limite geral , se existir.
a) os limites de
b) o limite geral
Passo 2
(i) Eixo dos
:
.
Substituindo em : o numerador fica
Substituindo em
o denominador é
,
logo
logo
Passo 3
(ii) Eixo dos
:
.
Substituindo em : o numerador é
Substituindo em
o denominador é
,
logo
logo
Passo 4
(iii) Reta
.
Substituindo em
:
Substituindo
Como
, isto tende a
.
Passo 5
(iv) Curva
.
Substituindo em
:
Substituindo
que também tende a
quando
.
Passo 6
Embora em (i)–(iv) o limite dê sempre
, vejamos um outro caminho do tipo
:
que, em geral, depende de
. Como esse valor varia com
, o limite
não existe.
Resposta
a) Para (i), (ii), (iii) e (iv) o limite é
.
b) não existe.
b)