Nos problemas de 9 a 14, (a) calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) ao longo de cada um dos caminhos indicados em (i), (ii), (iii) e (iv), e (b) determine lim (x, y) 10,0) f(x, y), se existir.
12 f(x, y)=3 x^4 y^4(x^4+y^2)^3 quando (x, y) tende a (0,0) (i) ao longo do eixo dos x, (ii) ao longo do eixo dos y, (iii) ao longo da reta y=x, (iv) ao longo da curva y=-x^4

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=3,x^4y^4l(x^4+y^2r)^3
e pede:
a) os limites de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) ao longo de cada um dos caminhos (i)–(iv);
b) o limite geral lim(x,y)to(0,0)f(x,y), se existir.

Passo 2

(i) Eixo dos x: y=0.
Substituindo em f: o numerador fica
3,x^4cdot0^4=0,
o denominador é l(x^4+0r)^3=x^12,
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lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=0

Passo 3

(ii) Eixo dos y: x=0.
Substituindo em f: o numerador é
3cdot0^4cdot y^4=0,
o denominador é l(0+y^2r)^3=y^6,
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lim(0,y)to(0,0)f(0,y)=0

Passo 4

(iii) Reta y=x.
Substituindo y=x em f:
f(x,x) =3,x^4cdot x^4l(x^4+x^2r)^3 =3,x^8l(x^2(x^2+1)r)^3 =3,x^8x^6,(x^2+1)^3 =3,x^2(x^2+1)^3
Como xto0, isto tende a 0.

Passo 5

(iv) Curva y=-x^4.
Substituindo y=-x^4 em f:
fl(x,-x^4r) =3,x^4,(x^4)^4l(x^4+(x^4)^2r)^3 =3,x^20l(x^4+x^8r)^3 =3,x^20l(x^4(1+x^4)r)^3 =3,x^8(1+x^4)^3,
que também tende a 0 quando xto0.

Passo 6

Embora em (i)–(iv) o limite dê sempre 0, vejamos um outro caminho do tipo y=k,x^2:
fl(x,kx^2r) =3,x^4,(k^4x^8)l(x^4+k^2x^4r)^3 =3,k^4,x^12l(x^4(1+k^2)r)^3 =3,k^4(1+k^2)^3,
que, em geral, depende de k. Como esse valor varia com k, o limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe.

Resposta

a) Para (i), (ii), (iii) e (iv) o limite é 0.
b) lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.

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