Nos problemas de 9 a 14, (a) calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) ao longo de cada um dos caminhos indicados em (i), (ii), (iii) e (iv), e (b) determine lim (x, y) 10,0) f(x, y), se existir.
14 f(x, y)=ll1y sen(x y) & se y neq 0 x & se y=0 quando (x, y) tende a ( 0,0 ) (i) ao longo do eixo dos x, (ii) ao longo da reta y=2 x, (iii) ao longo da parábola y=x^2, (iv) ao longo da curva y=5 x^3

Passo 1

O enunciado apresenta a função de duas variáveis
f(x,y)= dfrac1y,sin(xy),&yneq0,[1ex] x,&y=0,
e pede (a) os limites de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) ao longo de quatro curvas (eixo x, reta y=2x, parábola y=x^2 e curva y=5x^3) e (b) se existe o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) no plano todo. Para isso vamos substituir cada caminho em f e depois usar uma desigualdade do tipo “squeeze” para ver se o limite é 0 de modo geral.]

Passo 2

Caminho (i): eixo dos x, isto é y=0. Nesse caso, pela definição de f para y=0,
f(x,0)=x
Logo, quando xto0,
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=limxto0x=0

Passo 3

Caminho (ii): reta y=2x com xto0. Aqui yneq0 para xneq0, então
fl(x,2xr) =12x,sinl(xcdot2xr) =12x,sinl(2x^2r)
Como sin tsim t para tto0, temos
sin(2x^2)=2x^2+o(x^2),
logo
f(x,2x) =2x^2+o(x^2)2x =x+o(x),to0

Passo 4

Caminho (iii): parábola y=x^2. De novo yneq0 para xneq0, então
fl(x,x^2r) =1x^2,sinl(xcdot x^2r) =1x^2,sinl(x^3r)
Usando sin(x^3)=x^3+o(x^3), obtemos
f(x,x^2) =x^3+o(x^3)x^2 =x+o(x),to0

Passo 5

Caminho (iv): curva y=5x^3. Ainda yneq0 para xneq0,
fl(x,5x^3r) =15x^3,sinl(xcdot5x^3r) =15x^3,sinl(5x^4r),
e como sin(5x^4)=5x^4+o(x^4),
f(x,5x^3) =5x^4+o(x^4)5x^3 =x+o(x),to0

Passo 6

Para ver se o limite existe de fato e vale sempre 0, note que para yneq0
l|f(x,y)r| =l|sin(xy)yr| <=|xy||y| =|x|
Assim, ao levarmos (x,y)to(0,0) com yneq0, temos |f(x,y)|<=|x|to0. Para y=0, já vimos que f(x,0)=xto0. Como ambas as “ramificações” concordam, o limite geral existe e é 0.

Resposta

(a)(i) 0, (ii) 0, (iii) 0, (iv) 0.
(b) lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0.

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