Nos problemas de 9 a 14, (a) calcule o limite de quando tende a ao longo de cada um dos caminhos indicados em (i), (ii), (iii) e (iv), e (b) determine , se existir. quando tende a ( 0,0 ) (i) ao longo do eixo dos , (ii) ao longo da reta , (iii) ao longo da parábola , (iv) ao longo da curva
Passo 1
O enunciado apresenta a função de duas variáveis
e pede (a) os limites de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) ao longo de quatro curvas (eixo x, reta y=2x, parábola y=x^2 e curva y=5x^3) e (b) se existe o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) no plano todo. Para isso vamos substituir cada caminho em f e depois usar uma desigualdade do tipo “squeeze” para ver se o limite é 0 de modo geral.]
Passo 2
Caminho (i): eixo dos x, isto é y=0. Nesse caso, pela definição de f para y=0,
f(x,0)=x
Logo, quando xto0,
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=limxto0x=0
Passo 3
Caminho (ii): reta y=2x com xto0. Aqui yneq0 para xneq0, então
fl(x,2xr) =12x,sinl(xcdot2xr) =12x,sinl(2x^2r)
Como sin tsim t para tto0, temos
sin(2x^2)=2x^2+o(x^2),
logo
f(x,2x) =2x^2+o(x^2)2x =x+o(x),to0
Passo 4
Caminho (iii): parábola y=x^2. De novo yneq0 para xneq0, então
Para ver se o limite existe de fato e vale sempre 0, note que para yneq0
l|f(x,y)r| =l|sin(xy)yr| <=|xy||y| =|x|
Assim, ao levarmos (x,y)to(0,0) com yneq0, temos |f(x,y)|<=|x|to0. Para y=0, já vimos que f(x,0)=xto0. Como ambas as “ramificações” concordam, o limite geral existe e é 0.
Resposta
(a)(i) 0, (ii) 0, (iii) 0, (iv) 0.
(b) lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0.
Cálculo Numérico - Análise numérica - burden - 10ª Edição - Capítulo 16.Conjunto de Problemas 2 - Ex. 14