Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule
, (b) calcule
, (c) calcule
, (d) calcule
, e (e) verifique que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as segundas derivadas parciais de
a saber
,
, as mistas
e
, e mostrar que elas coincidem. Vamos usar a definição de derivada parcial, tratando a variável “não diferenciada” como constante.
Passo 2
Primeiro achamos as derivadas parciais de primeira ordem.
Para tratamos
como constante e derivamos
Para
Para
tratamos
como constante e derivamos
Passo 3
Agora
. Como
temos
Passo 4
Em seguida
. Como
resulta
Passo 5
Para a mista
usamos
e obtemos
Passo 6
Para a outra mista
usamos
e obtemos
Passo 7
Comparando, vemos que
logo
, conforme o Teorema de Schwarz.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) De fato .
(b)
(c)
(d)
(e) De fato