Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule partial^2 fpartial x^2 , (b) calcule partial^2 fpartial y^2 , (c) calcule
partial fpartial y partial x , (d) calcule partial^2 fpartial x partial y , e (e) verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y .
f(x, y)=y cos x-x e^2 y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as segundas derivadas parciais de
f(x,y)=ycos x - x,e^2y,
a saber partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2, as mistas partialpartial yl(fxr) e partialpartial xl(fyr), e mostrar que elas coincidem. Vamos usar a definição de derivada parcial, tratando a variável “não diferenciada” como constante.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de primeira ordem.
Para ,fx=partial fpartial x tratamos y como constante e derivamos
fx=partialpartial xl(ycos xr);-;partialpartial xl(x,e^2yr) =-ysin x ;-;e^2y
Para ,fy=partial fpartial y tratamos x como constante e derivamos
fy=partialpartial yl(ycos xr);-;partialpartial yl(x,e^2yr) =cos x ;-;2x,e^2y

Passo 3

Agora fxx=partialpartial x(fx). Como
fx=-ysin x - e^2y,
temos
fxx=-ycos x ;-;0 = -,ycos x

Passo 4

Em seguida fyy=partialpartial y(fy). Como
fy=cos x -2x,e^2y,
resulta
fyy=0 ;-;2xcdot2,e^2y = -4x,e^2y

Passo 5

Para a mista fxy=partialpartial y(fx) usamos
fx=-ysin x - e^2y
e obtemos
fxy=-sin x ;-;2,e^2y

Passo 6

Para a outra mista fyx=partialpartial x(fy) usamos
fy=cos x -2x,e^2y
e obtemos
fyx=-sin x ;-;2,e^2y

Passo 7

Comparando, vemos que
fxy=-sin x -2,e^2y e fyx=-sin x -2,e^2y,
logo ;fxy=fyx, conforme o Teorema de Schwarz.

Resposta

(a) fxx=-ycos x
(b) fyy=-4x,e^2y
(c) fxy=-sin x -2,e^2y
(d) fyx=-sin x -2,e^2y
(e) De fato fxy=fyx.

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