Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule
, (b) calcule
, (c) calcule
, (d) calcule
, e (e) verifique que
.
Passo 1
O enunciado dá
e pede as segundas derivadas parciais
,
, as mistas
,
e verificar que elas coincidem. O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia e, quando necessário, da regra do produto.
Passo 2
Definindo
temos
. Pela regra da cadeia,
Passo 3
Para
diferenciamos
em relação a
, usando produto e novamente a cadeia:
Como
segue
Passo 4
De modo análogo, diferenciando
em relação a
obtemos
Passo 5
Para a mista
derivamos
em relação a
:
E
logo
Passo 6
Para
derivamos
em relação a
. Pelo mesmo raciocínio chegamos a
Passo 7
Comparando os resultados das partes mistas vemos que
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Ficou demonstrado que as duas derivadas mistas são iguais.
(b)
(c)
(d)
(e) Ficou demonstrado que as duas derivadas mistas são iguais.