Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule partial^2 fpartial x^2 , (b) calcule partial^2 fpartial y^2 , (c) calcule
partial fpartial y partial x , (d) calcule partial^2 fpartial x partial y , e (e) verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y .
f(x, y)=e^raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado dá
f(x,y)=e^raizx^2+y^2!,
e pede as segundas derivadas parciais partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2, as mistas partial^2 fpartial ypartial x, partial^2 fpartial xpartial y e verificar que elas coincidem. O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia e, quando necessário, da regra do produto.

Passo 2

Definindo
r=raizx^2+y^2,
temos ;f=e^r. Pela regra da cadeia,
partial fpartial x =dfdr,partial rpartial x =e^rcdotxr e partial fpartial y =e^rcdotyr

Passo 3

Para partial^2 fpartial x^2 diferenciamos partial fpartial x=e^rxr em relação a x, usando produto e novamente a cadeia:
partial^2 fpartial x^2 =partialpartial xl(e^rxrr) =e^rxrcdotxr ;+;e^rcdotpartialpartial xl(xrr)
Como
partialpartial xl(xrr) =r - x,(x/r)r^2 =y^2r^3,
segue
partial^2 fpartial x^2 =e^rx^2r^2 ;+;e^ry^2r^3 =e^rr,x^2+y^2r^3

Passo 4

De modo análogo, diferenciando partial fpartial y=e^ryr em relação a y obtemos
partial^2 fpartial y^2 =e^ry^2r^2 ;+;e^rx^2r^3 =e^rx^2+r,y^2r^3

Passo 5

Para a mista partial^2 fpartial ypartial x derivamos partial fpartial x=e^rxr em relação a y:
partial^2 fpartial ypartial x =partialpartial yl(e^rxrr) =e^ryrcdotxr ;+;e^rcdotpartialpartial yl(xrr)
E
partialpartial yl(xrr) =-,x,(y/r)r^2 =-x,yr^3,
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partial^2 fpartial ypartial x =e^rx,yr^2 -;e^rx,yr^3 =e^r,x,yl(1r^2-1r^3r)

Passo 6

Para partial^2 fpartial xpartial y derivamos partial fpartial y=e^ryr em relação a x. Pelo mesmo raciocínio chegamos a
partial^2 fpartial xpartial y =e^r,x,yl(1r^2-1r^3r)

Passo 7

Comparando os resultados das partes mistas vemos que
partial^2 fpartial ypartial x =partial^2 fpartial xpartial y

Resposta

(a) partial^2 fpartial x^2 =e^rr,x^2+y^2r^3
(b) partial^2 fpartial y^2 =e^rx^2+r,y^2r^3
(c) partial^2 fpartial ypartial x =e^r,x,yl(1r^2-1r^3r)
(d) partial^2 fpartial xpartial y =e^r,x,yl(1r^2-1r^3r)
(e) Ficou demonstrado que as duas derivadas mistas são iguais.

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