Nos problemas de 7 a 12, determine e .
.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
barF(t)=tan^-1(2t),bari+e^7t,barj
e pede as derivadas primeira e segunda. Vamos derivar componente a componente, usando a regra da cadeia para a parte com tan^-1 e a regra do exponencial para e^7t.

Passo 2

Derivando pela primeira vez cada componente:
– Para a componente em bari: seja u(t)=2t. Temos
ddtl[tan^-1(u)r] =u'1+u^2 =21+(2t)^2 =21+4t^2
– Para a componente em barj:
ddtl[e^7tr] =7e^7t
Portanto,
barF'(t) =21+4t^2,bari +7e^7t,barj

Passo 3

Agora derivamos novamente:
– Na parte em bari temos
ddt!l[21+4t^2r] =2cdotddtl[(1+4t^2)^-1r] =2cdot(-1)(1+4t^2)^-2cdot8t =-16t(1+4t^2)^2
– Na parte em barj a derivada de 7e^7t é
49e^7t
Assim,
barF''(t) =-16t(1+4t^2)^2,bari +49e^7t,barj

Resposta

barF'(t)=21+4t^2,bari+7e^7t,barj,
barF''(t)=-16t(1+4t^2)^2,bari+49e^7t,barj

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