Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(10\left{\frac{n^{2}}{5 n^{2}+1}\right})

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = 10n^25n^2+1
e, se ela convergir, determinar o limite quando ntoinfty. O conteúdo é limite de sequência racional, e vamos precisar dividir numerador e denominador pelo maior grau de n.

Passo 2

Para isolar o comportamento quando n cresce, dividimos numerador e denominador por n^2:
an = 10n^25n^2+1 =10n^2/n^2(5n^2+1)/n^2 =1015 + tfrac1n^2

Passo 3

Como limntoinftytfrac1n^2=0, temos
limntoinftyan =1015+0 =10cdot15 =2
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 2.

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