Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(22\left{\ln \left(e^{n}+2\right)-n\right})

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
an = lnl(e^n + 2r) - n.
O conteúdo é limite de sequência infinita: queremos saber se an converge e, em caso afirmativo, achar
limntoinftyan.

Passo 2

Usamos a propriedade do logaritmo de soma via fatoração de e^n:
lnl(e^n + 2r) = lnl(e^n(1 + 2e^-n)r) = ln(e^n) + ln(1 + 2e^-n) = n + ln(1 + 2e^-n)

Passo 3

Substituindo esse resultado em an, obtemos
an = l[n + ln(1 + 2e^-n)r] - n = ln(1 + 2e^-n)

Passo 4

Como ntoinfty temos e^-nto 0, logo 2e^-nto 0 e, pela continuidade de ln em 1,
limntoinftyan = limntoinftyln(1 + 2e^-n) = ln(1) = 0

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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