Nos problemas 9 a 26, determine se cada seqüência converge ou diverge. Se convergir, calcule seu limite.
(13\left{\frac{5 n^{2}}{3 n+1}\right})

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an definida por
an = 5n^23n+1
O conteúdo aqui é limite de sequência quando ntoinfty. Vamos verificar se an converge e, se sim, achar seu limite.

Passo 2

Em geral, para razões de polinômios em n, se o grau do numerador for maior do que o grau do denominador, o termo tende a crescer sem limite (diverge). Aqui o numerador é de grau 2 e o denominador de grau 1, o que já indica que an deve divergir para +infty.

Passo 3

Para ver isso de forma mais formal, dividimos numerador e denominador por n:
an = 5n^23n+1 = 5n^2/n3n/n + 1/n = 5n3 + 1/n

Passo 4

Quando ntoinfty temos 1/nto 0, logo o denominador tende a 3 enquanto o numerador 5nto +infty. Assim
an = 5n3 + 1/nsim 5n3to +infty,
ou seja, a sequência cresce sem limite e não converge para um valor finito.

Resposta

A sequência diverge e
limntoinfty5n^23n+1=+infty.

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