Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(33\left{\frac{(-1)^{n} n}{n+1}\right})
(33\left{\frac{(-1)^{n} n}{n+1}\right})
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que a gente determine
se é crescente, decrescente ou não-monótona;
se é limitada superiormente e/ou inferiormente;
se é convergente ou divergente.
Para isso vamos usar conceitos de monotonicidade de sequências (comparar termos ou estudar subsequências), noções de desigualdades para mostrar limites superior e inferior, e critério de convergência (análise de limites de subsequências).
Para isso vamos usar conceitos de monotonicidade de sequências (comparar termos ou estudar subsequências), noções de desigualdades para mostrar limites superior e inferior, e critério de convergência (análise de limites de subsequências).
Passo 2
Estudo da monotonicidade:
Separemos em termos pares e ímpares. Para :
Separemos em termos pares e ímpares. Para
– A sequência
é crescente em
pois
– A sequência
é decrescente em
pois
Como as subsequências de índices pares e ímpares são monotônicas em sentidos opostos, a sequência inteira não é monotônica. Logo
é não-monótona.
Passo 3
Estudo de limitações:
Para todo vale
Para todo
Logo
de modo que
é limitada superiormente (por
) e limitada inferiormente (por
).
Passo 4
Estudo de convergência:
Como quando
, temos
Como
Há dois limites distintos para as subsequências pares e ímpares, portanto a sequência não converge a um único valor. Assim
é divergente.
Resposta
A sequência é não-monótona, limitada superiormente e inferiormente, e divergente.