Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(33\left{\frac{(-1)^{n} n}{n+1}\right})

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = (-1)^n nn+1,
e pede que a gente determine
bul<=t se é crescente, decrescente ou não-monótona;
bul<=t se é limitada superiormente e/ou inferiormente;
bul<=t se é convergente ou divergente.
Para isso vamos usar conceitos de monotonicidade de sequências (comparar termos ou estudar subsequências), noções de desigualdades para mostrar limites superior e inferior, e critério de convergência (análise de limites de subsequências).

Passo 2

Estudo da monotonicidade:
Separemos em termos pares e ímpares. Para kinN:
a2k = +2k2k+1, a2k+1 = -2k+12k+2
– A sequência l(a2kr) é crescente em k pois
2k2k+1 < 2k+22k+3
– A sequência l(a2k+1r) é decrescente em k pois
-2k+12k+2 > -2k+32k+4
Como as subsequências de índices pares e ímpares são monotônicas em sentidos opostos, a sequência inteira não é monotônica. Logo an é não-monótona.

Passo 3

Estudo de limitações:
Para todo n>=1 vale
|an| = nn+1 <1
Logo
-1 < an < 1 forall n,
de modo que an é limitada superiormente (por 1) e limitada inferiormente (por -1).

Passo 4

Estudo de convergência:
Como nn+1to1 quando ntoinfty, temos
limktoinfty a2k = limktoinfty2k2k+1 = 1,
limktoinfty a2k+1 = limktoinftyl(-2k+12k+2r) = -1
Há dois limites distintos para as subsequências pares e ímpares, portanto a sequência não converge a um único valor. Assim an é divergente.

Resposta

A sequência é não-monótona, limitada superiormente e inferiormente, e divergente.

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