Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(37\left{\frac{-\operatorname{sen}(n \pi / 4)}{n}\right})

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = -sin!l(npi/4r)n,
determinando se ela é crescente, decrescente ou não-monótona, se é limitada superiormente ou inferiormente e se converge ou diverge. Vamos usar conhecimento sobre a função seno (periodicidade e limites) e sobre limites de quocientes com denominador que cresce sem limite.

Passo 2

Para verificar monotonicidade, note que sin(npi/4) é periódica de período 8 e assume valores positivos, nulos e negativos conforme n. Assim, os termos
an = -sin(npi/4)n
também mudam de sinal e de posição relativa (por exemplo, a4=0, a5>0, a6>0, a7>0, a8=0, a9<0, etc.). Logo não há uma direção única de variação: a sequência é não-monótona.

Passo 3

Para a limitação, usamos que
l|sin(npi/4)r|<=1 Longrightarrow l|anr| = l|sin(npi/4)r|n<= 1n
Como tfrac1n<=1 para todo n>=1, temos
-1 <= an <= 1,
ou seja, a sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente.

Passo 4

Para a convergência, observe que o numerador sin(npi/4) é limitado enquanto ntoinfty faz o denominador crescer sem limite. Logo
limntoinftyan = limntoinftyl(-sin(npi/4)nr) = 0
Portanto a sequência converge (seu limite é zero).

Resposta

A sequência é não-monótona, está limitada superiormente e inferiormente e é convergente, com limntoinftyan=0.

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