Nos problemas 27 a 38, diga se cada seqüência é crescente, decrescente ou nāo-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. Indique se a sequência é convergente ou divergente.
(37\left{\frac{-\operatorname{sen}(n \pi / 4)}{n}\right})
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência
determinando se ela é crescente, decrescente ou não-monótona, se é limitada superiormente ou inferiormente e se converge ou diverge. Vamos usar conhecimento sobre a função seno (periodicidade e limites) e sobre limites de quocientes com denominador que cresce sem limite.
Passo 2
Para verificar monotonicidade, note que é periódica de período e assume valores positivos, nulos e negativos conforme . Assim, os termos
também mudam de sinal e de posição relativa (por exemplo, , , , , , , etc.). Logo não há uma direção única de variação: a sequência é não-monótona.
Passo 3
Para a limitação, usamos que
Como tfrac1n<=1 para todo n>=1, temos
-1 <= an <= 1,
ou seja, a sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente.
Passo 4
Para a convergência, observe que o numerador sin(npi/4) é limitado enquanto ntoinfty faz o denominador crescer sem limite. Logo
limntoinftyan = limntoinftyl(-sin(npi/4)nr) = 0
Portanto a sequência converge (seu limite é zero).
Resposta
A sequência é não-monótona, está limitada superiormente e inferiormente e é convergente, com limntoinftyan=0.
Cálculo Numérico - Análise numérica - burden - 10ª Edição - Capítulo 13.Conjunto de Problemas 1 - Ex. 37