Nos problemas de 13 a 20, encontre cada derivada parcial.
f(x, y, z)=x y^2 z+3 x^2 e^y;
fx y(x, y, z)

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista
fxy(x,y,z)=partialpartial yl(partial fpartial xr)
da função
f(x,y,z)=x,y^2,z+3,x^2e^y
Aqui vamos usar as regras de derivada parcial, em especial a regra do produto e a derivada de e^y.

Passo 2

Primeiro calculamos
fx(x,y,z)=partialpartial xl(x,y^2,z+3,x^2e^yr)
– Para x,y^2,z, tratando y e z como constantes, vem
partialpartial x(x,y^2,z)=y^2z
– Para 3,x^2e^y, e^y é constante em relação a x, então
partialpartial x(3,x^2e^y)=6x,e^y
Somando,
fx(x,y,z)=y^2z+6x,e^y

Passo 3

Agora derivamos fx em relação a y:
fxy(x,y,z) =partialpartial yl(y^2z+6x,e^yr)
– Para y^2z, z é constante,
partialpartial y(y^2z)=2y,z
– Para 6x,e^y, x é constante,
partialpartial y(6x,e^y)=6x,e^y
Logo,
fxy(x,y,z)=2y,z+6x,e^y

Resposta

fxy(x,y,z)=2y,z+6x,e^y

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