Nos problemas de 19 a 22, encontre (a) \nabla f
(x_{0}, y_{0}, z_{0}) e (b) a derivada direcional D_{\bar{u}} f
(x_{0}, y_{0}, z_{\alpha}) para a função f dada, para o ponto ( x_{0}, y_{0}, z_{0} ) e para o vetor unitário \bar{u} indicados.
f(x, y, z)=x^{2} y+3 y z^{2},(x_{0}, y_{0}, z_{0})=(1,-1,1), \bar{u}=\frac{1}{3} \bar{i}-\frac{2}{3} \bar{j}+\frac{2}{3} \bar{k}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x^2y+3yz^2
e pede:
(a) o gradiente nabla f no ponto (x0,y0,z0)=(1,-1,1)
(b) a derivada direcional de f nesse ponto ao longo do vetor unitário
baru=tfrac13bari-tfrac23barj+tfrac23bark.
Vamos usar a definição de gradiente e depois a fórmula
Dbaruf=nabla fcdotbaru,

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx=partialpartial x(x^2y+3yz^2) =2xy,
fy=partialpartial y(x^2y+3yz^2) =x^2+3z^2,
fz=partialpartial z(x^2y+3yz^2) =6yz

Passo 3

Agora avaliamos cada parcial em (1,-1,1):
fx(1,-1,1)=2cdot1cdot(-1)=-2,
fy(1,-1,1)=1^2+3cdot1^2=1+3=4,
fz(1,-1,1)=6cdot(-1)cdot1=-6
Logo o gradiente é
nabla f(1,-1,1)=lang<= -2,,4,,-6rang<=

Passo 4

Para a derivada direcional usamos
Dbaruf(1,-1,1) =nabla f(1,-1,1)cdotbaru =lang<= -2,4,-6rang<=cdotllang<=tfrac13,-tfrac23,tfrac23rrang<=
Fazendo o produto escalar:
-2cdottfrac13+4cdotl(-tfrac23r)+(-6)cdottfrac23 =-tfrac23-tfrac83-tfrac123 =-tfrac223

Resposta

nabla f(1,-1,1)=lang<= -2,,4,,-6rang<=
Dbaruf(1,-1,1)=-tfrac223

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