Nos problemas de 19 a 22, encontre (a) \nabla f
(x_{0}, y_{0}, z_{0}) e (b) a derivada direcional D_{\bar{u}} f
(x_{0}, y_{0}, z_{\alpha}) para a função f dada, para o ponto ( x_{0}, y_{0}, z_{0} ) e para o vetor unitário \bar{u} indicados.
f(x, y, z)=x^{2} y+3 y z^{2},(x_{0}, y_{0}, z_{0})=(1,-1,1), \bar{u}=\frac{1}{3} \bar{i}-\frac{2}{3} \bar{j}+\frac{2}{3} \bar{k}.
f(x, y, z)=x^{2} y+3 y z^{2},(x_{0}, y_{0}, z_{0})=(1,-1,1), \bar{u}=\frac{1}{3} \bar{i}-\frac{2}{3} \bar{j}+\frac{2}{3} \bar{k}.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) o gradiente no ponto
(b) a derivada direcional de nesse ponto ao longo do vetor unitário
.
Vamos usar a definição de gradiente e depois a fórmula
(a) o gradiente
(b) a derivada direcional de
Vamos usar a definição de gradiente e depois a fórmula
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Agora avaliamos cada parcial em
:
Logo o gradiente é
Passo 4
Para a derivada direcional usamos
Fazendo o produto escalar: