Nos problemas 17 a 22, use uma integração apropriada em coordenadas cilíndricas para calcular o volume
de cada sólido
.
(19 S) é o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelas superficies
e
.
(19 S) é o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelas superficies
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
no primeiro octante (
,
,
) limitado pelas superfícies
e
além dos planos coordenados. Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar
, sabendo que
e o elemento de volume é
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas a curva lateral
fica
e o primeiro octante implica
. A superfície parabólica dá o limite superior em
, enquanto o plano
é o limite inferior. Logo,
Passo 3
O volume é
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Assim
Passo 5
Integramos em
:
Fica então
Usando a fórmula
obtemos