Nos problemas 17 a 22, use uma integração apropriada em coordenadas cilíndricas para calcular o volume V de cada sólido S.
(19 S) é o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelas superficies x^2+y^2=z e x^2+y^2=2 y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S no primeiro octante ( x>=0, y>=0, z>=0) limitado pelas superfícies
z = x^2 + y^2
e
x^2 + y^2 = 2y,
além dos planos coordenados. Vamos usar coordenadas cilíndricas para parametrizar S, sabendo que
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
e o elemento de volume é dV = r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a curva lateral x^2+y^2=2y fica
r^2 = 2rsintheta Longrightarrow r = 2sintheta,
e o primeiro octante implica thetain[0,tfracpi2]. A superfície parabólica dá o limite superior em z, enquanto o plano z=0 é o limite inferior. Logo,
0 <= z <= r^2, 0 <= r <= 2sintheta, 0 <= theta <= tfracpi2

Passo 3

O volume é
V = integraltheta=0^pi/2 integralr=0^2sintheta integralz=0^r^2 r ,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=0^r^2 r,dz = rl[zr]0^r^2 = rcdot r^2 = r^3
Assim
V = integral0^pi/2 integral0^2sintheta r^3 ,dr,dtheta

Passo 5

Integramos em r:
integral0^2sintheta r^3,dr = (2sintheta)^44 = 16sin^4theta4 = 4,sin^4theta
Fica então
V = integral0^pi/2 4,sin^4theta,dtheta = 4integral0^pi/2sin^4theta,dtheta
Usando a fórmula
integral0^pi/2sin^4theta,dtheta = 3pi16,
obtemos
V = 4cdot3pi16 = 3pi4

Resposta

V = 3pi4

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