38 Prove que barA times(t barB)=t(barA times barB).

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de homogeneidade do produto vetorial em R^3, ou seja, para quaisquer vetores barA,barBinR^3 e escalar tinR, mostrar que
barAtimesl(t,barBr)=tl(barAtimesbarBr)
Para isso vamos usar a definição componente a componente do produto vetorial.

Passo 2

Escrevemos os vetores em coordenadas:
barA=(A1,A2,A3), barB=(B1,B2,B3)
Então
t,barB=(tB1,;tB2,;tB3)

Passo 3

Pela definição do produto vetorial em componentes,
barAtimes(t,barB) =l(A2,(tB3)-A3,(tB2),;A3,(tB1)-A1,(tB3),;A1,(tB2)-A2,(tB1)r)

Passo 4

Em cada componente podemos fatorar t:
barAtimes(t,barB) =l(t,(A2B3-A3B2),;t,(A3B1-A1B3),;t,(A1B2-A2B1)r) =t;(barAtimesbarB)

Resposta

barAtimesl(t,barBr)=tl(barAtimesbarBr)

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