28.8 O composto A difunde por meio de um tubo de 4 cm de comprimento e reage conforme ele difunde. A equação que rege a difusão com reação é
D d^2 Ad x^2-k A=0
Em uma extremidade do tubo, existe uma grande fonte de A a uma concentração de 0,1 M. Na outra extremidade do tubo, existe um material absorvente que absorve rapidamente qualquer A, tornando a concentração 0 M . Se D=1,5 times 10^-6 cm^2 / s e k=5 times 10^-6 s^-1, qual é a concentração de A como função da distância no tubo?

Passo 1

O enunciado dá a equação de difusão com reação unidimensional em regime estacionário
D,d^2Adx^2 - k,A = 0
num tubo de comprimento L=4,cm, com as condições de contorno
A(0)=0,1;M, A(4)=0;M
O conteúdo é a solução de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Dividindo por D, escrevemos em forma padrão
d^2Adx^2 - kD,A = 0
A equação característica é
r^2 - kD = 0 Longrightarrow r = pm raizkD

Passo 3

A solução geral é
A(x) = C1,e^r x + C2,e^-r x,
onde r = raizk/D. Para impor as condições de contorno, vale notar que podemos reescrever essa combinação em termos de funções hiperbólicas.

Passo 4

Definindo
r = raizkD = raiz5times10^-6,s^-11,5times10^-6,cm^2/s approx 1,826;cm^-1,
e usando as condições A(0)=A0=0,1 e A(L)=0, chega-se à forma
A(x) = A0,sinhl[r,(L - x)r]sinhl(r,Lr)

Resposta

A(x) = 0,1,sinh!l(1,826,(4 - x)r)sinh!l(1,826cdot4r)(concentração em M, (x) em cm) çã

Exercícios de Livros Relacionados