24.44 A posição de ataque de um jato em uma pista de aterrissagem de aviões de transporte foi cronometrada durante a aterrissagem:
0 0,52 1,04 1,75 2,37 3,25 3,83
153 185 210 249 261 271 273
em que é a distância a partir da extremidade do avião de carga. Estime (a) a velocidade e (b) a aceleração usando derivação numérica.

Passo 1

O enunciado fornece medições de tempo t e posição x de um jato durante a aterrissagem e pede que estimemos
– a velocidade v = dfracdxdt
– a aceleração a = dfracdvdt
Usaremos fórmulas de diferenças finitas: diferenças centrais para pontos interiores e diferenças progressiva/regressiva para os extremos.

Passo 2

Definimos as fórmulas de diferença finita para a velocidade:
Para o primeiro ponto t0 usamos a diferença progressiva
v0 = x1 - x0t1 - t0
Para um ponto interior i=1,dots,5 usamos a diferença central
vi = xi+1 - xi-1ti+1 - ti-1
Para o último ponto t6 usamos a diferença regressiva
v6 = x6 - x5t6 - t5
Aplicando com os dados
t = [0,;0,52,;1,04,;1,75,;2,37,;3,25,;3,83] s
e
x = [153,;185,;210,;249,;261,;271,;273] m
obtemos (valores em m/s):
Em t0=0:
v0 = 185-1530,52 approx 61,54
Em t1=0,52:
v1 = 210-1531,04 approx 54,81
Em t2=1,04:
v2 = 249-1852,37-1,04 = 641,23 approx 52,03
Em t3=1,75:
v3 = 261-2102,37-1,04 = 511,33 approx 38,35
Em t4=2,37:
v4 = 271-2493,25-1,75 = 221,50 approx 14,67
Em t5=3,25:
v5 = 273-2613,83-2,37 = 121,46 approx 8,22
Em t6=3,83:
v6 = 273-2713,83-3,25 approx 3,45

Passo 3

Agora estimamos a aceleração usando as mesmas fórmulas sobre v versus t:
Para t0: diferença progressiva
a0 = v1 - v0t1 - t0
Para i=1,dots,5: diferença central
ai = vi+1 - vi-1ti+1 - ti-1
Para t6: diferença regressiva
a6 = v6 - v5t6 - t5
Substituindo os vi já calculados, obtemos (valores em m/ s^2):
Em t0=0:
a0 = 54,81 - 61,540,52 approx -12,94
Em t1=0,52:
a1 = 52,03 - 61,541,04 approx -9,14
Em t2=1,04:
a2 = 38,35 - 54,811,75 - 0,52 approx -13,38
Em t3=1,75:
a3 = 14,67 - 52,032,37 - 1,04 approx -28,09
Em t4=2,37:
a4 = 8,22 - 38,353,25 - 1,75 approx -20,08
Em t5=3,25:
a5 = 3,45 - 14,673,83 - 2,37 approx -7,68
Em t6=3,83:
a6 = 3,45 - 8,220,58 approx -8,22

Resposta

Velocidades estimadas (m/s):
em t=0: 61,54; em 0,52: 54,81; em 1,04: 52,03; em 1,75: 38,35; em 2,37: 14,67; em 3,25: 8,22; em 3,83: 3,45.
Acelerações estimadas (m/ s^2):
em t=0: -12,94; em 0,52: -9,14; em 1,04: -13,38; em 1,75: -28,09; em 2,37: -20,08; em 3,25: -7,68; em 3,83: -8,22.

Exercícios de Livros Relacionados