74 (a) Seja
Encontre a expansão em série de Maclaurin para para os quais ela representa a função. Mostre que é contínua.
(b) Encontre a expansão em série de Maclaurin para .
(c) Use o resultado da parte (b) para encontrar a soma da série .

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= dfrace^x-1x,&xneq0, 1,&x=0,
e pede:
– (a) a série de Maclaurin de f(x), seu raio de convergência e mostrar que f é contínua;
– (b) a série de Maclaurin de f'(x);
– (c) usar (b) para calcular sumk=1^inftyk(k+1)!.
Vamos usar expansão de e^x, propriedades de série de potências e diferenciação termo a termo.

Passo 2

Expandimos primeiro
e^x=sumn=0^inftyx^nn!
Para xneq0 temos
e^x-1x =1xsumn=1^inftyx^nn! =sumn=1^inftyx^n-1n! =summ=0^inftyx^m(m+1)!,
onde fizemos m=n-1. Logo a série de Maclaurin de f(x) é
boxedf(x)=summ=0^inftyx^m(m+1)!

Passo 3

O raio de convergência dessa série é infinito (pois vem de e^x), logo ela representa f(x) para todo xinRsetminus0.
Para ver continuidade em 0, basta observar o termo geral quando xto0:
f(0)=limxto0summ=0^inftyx^m(m+1)! =x^01!+summ=1^inftyO(x^m) =1
Como definimos f(0)=1, f é contínua em 0.

Passo 4

Diferenciando termo a termo em lvert xrvert<infty:
f'(x) =ddxsumm=0^inftyx^m(m+1)! =summ=1^inftym,x^m-1(m+1)!
Podemos reindexar com k=m-1 e obter também
boxedf'(x)=sumk=0^infty(k+1),x^k(k+2)!

Passo 5

Comparando com a soma que queremos, note que para x=1
f'(1)=summ=1^inftymcdot1^,m-1(m+1)! =sumk=1^inftyk(k+1)!
Mas podemos calcular f'(1) diretamente a partir de
f'(x)=(x-1)e^x+1x^2
(obtido por quociente). Em x=1
f'(1)=(1-1)e^1+11^2=1
Logo
boxedsumk=1^inftyk(k+1)!=1

Resposta

(a)
f(x)=summ=0^inftyx^m(m+1)!, R=infty,
e f é contínua em R.
(b)
f'(x)=summ=1^inftym,x^m-1(m+1)! =sumk=0^infty(k+1),x^k(k+2)!
(c)
sumk=1^inftyk(k+1)!=1

Exercícios de Livros Relacionados