Encontre a expansão em série de Maclaurin para para os quais ela representa a função. Mostre que é contínua.
(b) Encontre a expansão em série de Maclaurin para .
(c) Use o resultado da parte (b) para encontrar a soma da série .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
– (a) a série de Maclaurin de f(x), seu raio de convergência e mostrar que f é contínua;
– (b) a série de Maclaurin de f'(x);
– (c) usar (b) para calcular sumk=1^inftyk(k+1)!.
Vamos usar expansão de e^x, propriedades de série de potências e diferenciação termo a termo.
onde fizemos m=n-1. Logo a série de Maclaurin de f(x) é
boxedf(x)=summ=0^inftyx^m(m+1)!
Passo 3
O raio de convergência dessa série é infinito (pois vem de e^x), logo ela representa f(x) para todo xinRsetminus0.
Para ver continuidade em 0, basta observar o termo geral quando xto0: