Encontre os primeiros quatro termos da série de Taylor para cada função no valor dado de a.
f(x)=tan x, a=pi / 4)

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da série de Taylor de f(x)=tan x em torno de a=pi/4. Para isso vamos usar a definição
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!,(x-a)^n,
calculando f(a), f'(a), f''(a) e f'''(a).

Passo 2

Calculamos o valor da função em a:
f(a)=tanl(tfracpi4r)=1

Passo 3

Derivando f, temos
f'(x)=sec^2 x,
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f'l(tfracpi4r)=sec^2l(tfracpi4r)=l(raiz2r)^2=2

Passo 4

A segunda derivada é
f''(x)=ddxl(sec^2 xr)=2,sec^2 x,tan x,
então
f''l(tfracpi4r)=2cdot2cdot1=4

Passo 5

Para a terceira derivada, usamos produto e cadeia:
f'''(x)=ddxl(2,sec^2 x,tan xr) =2l(2sec^2 xtan xcdottan x+sec^2 xcdotsec^2 xr) =4sec^2 xtan^2 x+2sec^4 x
Em x=pi/4 isso vale
f'''l(tfracpi4r) =4cdot2cdot1+2cdot2^2 =8+8=16

Passo 6

Agora montamos os quatro termos da série até a ordem 3:
f(x)approx f(a) +f'(a)(x-a) +f''(a)2!(x-a)^2 +f'''(a)3!(x-a)^3
Substituindo a=tfracpi4 e os coeficientes:
f(x)approx 1 +2,(x-tfracpi4) +42(x-tfracpi4)^2 +166(x-tfracpi4)^3
Simplificando os fatores:
f(x)approx 1 +2,(x-tfracpi4) +2,(x-tfracpi4)^2 +83(x-tfracpi4)^3

Resposta

tan x approx 1 +2l(x-tfracpi4r) +2l(x-tfracpi4r)^2 +83l(x-tfracpi4r)^3

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