Suponha que barA=3 bari+barj-4 bark, barB=4 bari+barj-bark, barC=2 bari-5 barj+4 bark, barD=-2 bari+barj+7 bark, e barE=2 bari+barj-bark são vetores no espaço. Calcule cada uma das expressões.
(barA-12 barB+barC) cdot(barE-13 barD)

Passo 1

O enunciado dá cinco vetores no espaço e pede para calcular o produto escalar
l(barA-tfrac12barB+barCr)cdotl(barE-tfrac13barDr)
O conteúdo envolvido é operação com vetores (soma, multiplicação por escalar) e produto escalar, aplicando distributividade coordenada a coordenada.

Passo 2

Calcular barP=barA-tfrac12barB+barC.
Temos
barA=(3,1,-4),
tfrac12barB=(tfrac12cdot4,tfrac12cdot1,tfrac12cdot(-1))=(2,tfrac12,-tfrac12).
Logo
barA-tfrac12barB=(3-2,;1-tfrac12,;-4+ tfrac12)=(1,tfrac12,-tfrac72)
Somando barC=(2,-5,4) vem
barP=(1+2,;tfrac12-5,;-,tfrac72+4)=(3,-tfrac92,tfrac12)

Passo 3

Calcular barQ=barE-tfrac13barD.
Temos
barE=(2,1,-1),
tfrac13barD=(tfrac13cdot(-2),tfrac13cdot1,tfrac13cdot7)=(-tfrac23,tfrac13,tfrac73).
Então
barQ=(2+tfrac23,;1-tfrac13,;-1-tfrac73)=(tfrac83,tfrac23,-tfrac103)

Passo 4

Calcular o produto escalar barPcdotbarQ coordenada a coordenada:
barPcdotbarQ =3cdottfrac83 +(-tfrac92)cdottfrac23 +(tfrac12)cdotl(-tfrac103r)
Simplificando cada termo:
3cdottfrac83=8,
-tfrac92cdottfrac23=-3,
tfrac12cdot(-tfrac103)=-tfrac53.
Portanto
barPcdotbarQ =8-3-tfrac53 =5-tfrac53 =tfrac103

Resposta

tfrac103

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