24.32 Suponha que a corrente através de um resistor é descrita pela função
i(t)=(60-t)^2+(60-t) sen(raizt)
e a resistência é uma função da corrente,
R=12 i+2 i^2 / 3
Calcule a voltagem média entre t=0 e 60 usando a regra 1 / 3 de Simpson para segmentos múltiplos.

Passo 1

O enunciado dá a corrente através de um resistor como
i(t) = (60 - t)^2 + (60 - t),sinl(raiztr)
e a resistência em função de i como
R(i) = 12,i + 2,i^2/3
Queremos a voltagem média entre t=0 e t=60. Esse problema usa dois conteúdos: cálculo de valor médio de uma função
bar v = 160-0integral0^60v(t),dt
e a Regra de Simpson composta ( 1/3) para aproximar a integral.

Passo 2

A voltagem instantânea é
v(t) = Rl(i(t)r),i(t) = l(12,i(t) + 2,i(t)^2/3r),i(t) = 12,l[i(t)r]^2 ;+;2,l[i(t)r]^5/3
Portanto
bar v ;=;160integral0^60l[,12,i(t)^2 + 2,i(t)^5/3r]dt

Passo 3

Para a Regra de Simpson composta escolhemos n=6 subintervalos (múltiplo de 2), logo
h=60-06=10,
e os nós tk = 10k, k=0,1,dots,6. A fórmula de Simpson é
integral0^60v(t),dt approx h3l[v0+v6 ;+;4,(v1+v3+v5);+;2,(v2+v4)r],
onde vk=v(tk).

Passo 4

Calculamos ik = i(tk) e depois vk:
t 0 =0:
;i0=(60)^2+60sin0=3600, ;v0=12cdot3600^2+2cdot3600^5/3approx1,57212times10^8
t 1 =10:
;i1=50^2+50sin(raiz10)approx2498,97, ;v1approx7,58604times10^7
t 2 =20:
;i2=40^2+40sin(raiz20)approx1561,07, ;v2approx2,96638times10^7
t 3 =30:
;i3=30^2+30sin(raiz30)approx878,42, ;v3approx9,42043times10^6
t 4 =40:
;i4=20^2+20sin(raiz40)approx400,44, ;v4approx1,96763times10^6
t 5 =50:
;i5=10^2+10sin(raiz50)approx107,10, ;v5approx1,42542times10^5
t 6 =60:
;i6=0, v6=0

Passo 5

Aplicando a fórmula de Simpson:
integral0^60v(t),dt approx 103l[v0+v6 + 4(v1+v3+v5)+2(v2+v4)r]
Substituindo os valores (em notação times 10^n):
v0+v6=1,57212times10^8, 4(v1+v3+v5)approx3,41693times10^8, 2(v2+v4)approx6,32628times10^7,
integral0^60v(t),dt approx 103l(5,62169times10^8r) approx1,87390times10^9

Passo 6

Agora a voltagem média é
bar v = 160integral0^60v(t),dt approx 1,87390times10^960 approx3,12317times10^7

Resposta

A voltagem média aproximada pelo método de Simpson é
boxedbar v approx 3,12times10^7 V

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