24.46 A velocidade para cima de um foguete pode ser calculada seguindo a fórmula:
em que
é a velocidade para cima,
é a velocidade relativa ao foguete na qual o fluido é expelido,
é a massa inicial do foguete no instante
é a taxa de consumo de combustível e
é a aceleração para baixo da gravidade (suposta constante e igual a 9,8
). Se
e
, use a regra do trapézio com seis segmentos e a regra
de Simpson, a quadratura de Gauss com seis pontos e métodos de Romberg de
para determinar quão alto o foguete irá voar em 30 s .
em que
Passo 1
O enunciado nos dá a velocidade do foguete em função do tempo
e pede a altura atingida em
, ou seja,
O conteúdo aqui é quadratura numérica: regra do trapézio, regra de Simpson 1/3, quadratura de Gauss com 6 pontos e método de Romberg até erro
. Usaremos os dados
Passo 2
Definimos
. Para todos os métodos precisamos avaliar
em pontos
apropriados. A seguir vamos obter aproximações sucessivas.
Passo 3
Regra do trapézio com
subintervalos (
s).
Calculamos
Calculamos
Então
Passo 4
Regra de Simpson 1/3 com
(
s):
Substituindo os mesmos
,
Passo 5
Quadratura de Gauss–Legendre com 6 pontos. Nos nós
e pesos
padrão, mapeamos
Avaliações aproximadas em
s
dão
dão
Passo 6
Método de Romberg até ordem
. Calculamos as regras do trapézio com
subintervalos para obter
Aplicando as extrapolações
chegamos a
Resposta
Trapézio (
):
m
Simpson 1/3 ( ):
m
Gauss 6 pontos: m
Romberg :
m
Simpson 1/3 (
Gauss 6 pontos:
Romberg