24.46 A velocidade para cima de um foguete pode ser calculada seguindo a fórmula:
v=u ln (m0m0-q t)-g t
em que v é a velocidade para cima, u é a velocidade relativa ao foguete na qual o fluido é expelido, m0 é a massa inicial do foguete no instante t=0, q é a taxa de consumo de combustível e g é a aceleração para baixo da gravidade (suposta constante e igual a 9,8 m / s^2 ). Se u=1.800 m / s, m0=160.000 kg e q=2.500 kg / s, use a regra do trapézio com seis segmentos e a regra 1 / 3 de Simpson, a quadratura de Gauss com seis pontos e métodos de Romberg de O(h^8) para determinar quão alto o foguete irá voar em 30 s .

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade do foguete em função do tempo
v(t)=uln!l(m0m0-q,tr)-g,t
e pede a altura atingida em t=30 s, ou seja,
H=integral0^30v(t),dt
O conteúdo aqui é quadratura numérica: regra do trapézio, regra de Simpson 1/3, quadratura de Gauss com 6 pontos e método de Romberg até erro O(h^8). Usaremos os dados
u=1800 m/s, m0=160,000 kg, q=2500 kg/s, g=9,8 m/s^2

Passo 2

Definimos H=integral0^30v(t),dt. Para todos os métodos precisamos avaliar
v(ti)=1800ln!l(160000160000-2500,tir)-9,8,ti
em pontos ti apropriados. A seguir vamos obter aproximações sucessivas.

Passo 3

Regra do trapézio com n=6 subintervalos ( h=30/6=5 s).
Calculamos
ti&=0,5,10,15,20,25,30, v(ti)&approx 0,;97,42,;208,04,;332,86,;478,64,;644,74,;843,57 m/s
Então
HT=h2l(v0+2sumi=1^5v(ti)+v6r) =52l(0+2cdot1761,70+843,57r) approx1,0917times10^4 m

Passo 4

Regra de Simpson 1/3 com ( s):
Substituindo os mesmos ,

Passo 5

Quadratura de Gauss–Legendre com 6 pontos. Nos nós xikin[-1,1] e pesos wk padrão, mapeamos
tk=15+15,xik, HG=15sumk=1^6wk,v(tk)
Avaliações aproximadas em
,tapprox1,01,5,08,11,42,18,58,24,92,28,99, s
dão
HGapprox1,0906times10^4 m

Passo 6

Método de Romberg até ordem O(h^8). Calculamos as regras do trapézio com n=1,2,4,8 subintervalos para obter
R(0,0)=T1approx1,2654times10^4, R(1,0)=T2approx1,1335times10^4, R(2,0)=T4approx1,0989times10^4, R(3,0)=T8approx1,0936times10^4
Aplicando as extrapolações
R(k,j)=R(k,j-1)+R(k,j-1)-R(k-1,j-1)4^j-1,
chegamos a
R(3,3)approx1,0922times10^4 m

Resposta

Trapézio ( n=6): Happrox1,0917times10^4 m
Simpson 1/3 ( n=6): Happrox1,0862times10^4 m
Gauss 6 pontos: Happrox1,0906times10^4 m
Romberg O(h^8): Happrox1,0922times10^4 m

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