Suponha que uma lâmina com função de densidade de massa (\sigma) ocupa a regiāo ® no plano (x y). Ache a massa total (m) e as coordenadas ((\bar{x}, \bar{y})) do centro de massa da distribuição. Suponha que a massa é medida em gramas e as distâncias em centímetros.
R : a regiāo no primeiro quadrante limitada pelas curvas (y=e^{x}, x=0, y=0) e (x=2); (\sigma(x, y)) é proporcional à distância do ponto ((x, y)) ao eixo (x) e (\sigma(0,1)=1).

Passo 1

O enunciado pede massa total e centro de massa de uma lâmina no plano xy cuja densidade superficial sigma(x,y) é proporcional à distância até o eixo x. A região R está no primeiro quadrante, limitada por x=0, x=2, y=0 e a curva y=e^x. Para resolver usamos integrais duplas para massa e momentos, e depois as fórmulas
m = integral duplaRsigma(x,y),dA, barx=1mintegral duplaRx,sigma(x,y),dA, bary=1mintegral duplaRy,sigma(x,y),dA

Passo 2

Como sigma é proporcional a y, escrevemos sigma(x,y)=k,y. Como sigma(0,1)=1, fica
kcdot1=1;Longrightarrow;k=1,
logo sigma(x,y)=y.

Passo 3

A massa é
m=integralx=0^2integraly=0^e^xy,dy,dx =integral0^2l[y^22r]0^e^xdx =12integral0^2e^2x,dx =12l[e^2x2r]0^2 =e^4-14

Passo 4

O momento para barx é
integral duplaRx,sigma,dA =integral0^2integral0^e^xx,y,dy,dx =integral0^2xcdote^2x2,dx =12integral0^2x,e^2x,dx
Integramos por partes ( u=x, dv=e^2xdx) e obtemos
integral0^2x,e^2xdx =l[x,e^2x2-e^2x4r]0^2 =3e^4+14,
então
integral duplaRx,sigma,dA =12cdot3e^4+14 =3e^4+18

Passo 5

O momento para bary é
integral duplaRy,sigma,dA =integral duplaRy^2,dA =integral0^2integral0^e^xy^2,dy,dx =integral0^2e^3x3,dx =13l[e^3x3r]0^2 =e^6-19

Passo 6

Finalmente, pelas fórmulas do centro de massa:
barx =3e^4+18e^4-14 =3e^4+12,(e^4-1), bary =e^6-19e^4-14 =4,(e^6-1)9,(e^4-1) =4,(e^4+e^2+1)9,(e^2+1)

Resposta

m=dfrace^4-14 g
barx=3e^4+12,(e^4-1) cm
bary=4,(e^4+e^2+1)9,(e^2+1) cm

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