Suponha que uma lâmina com função de densidade de massa (\sigma) ocupa a regiāo ® no plano (x y). Ache a massa total (m) e as coordenadas ((\bar{x}, \bar{y})) do centro de massa da distribuição. Suponha que a massa é medida em gramas e as distâncias em centímetros.
R : a regiāo no primeiro quadrante limitada pelas curvas (y=e^{x}, x=0, y=0) e (x=2); (\sigma(x, y)) é proporcional à distância do ponto ((x, y)) ao eixo (x) e (\sigma(0,1)=1).
R : a regiāo no primeiro quadrante limitada pelas curvas (y=e^{x}, x=0, y=0) e (x=2); (\sigma(x, y)) é proporcional à distância do ponto ((x, y)) ao eixo (x) e (\sigma(0,1)=1).
Passo 1
O enunciado pede massa total e centro de massa de uma lâmina no plano
cuja densidade superficial
é proporcional à distância até o eixo
. A região
está no primeiro quadrante, limitada por
,
,
e a curva
. Para resolver usamos integrais duplas para massa e momentos, e depois as fórmulas
Passo 2
Como
é proporcional a
, escrevemos
. Como
, fica
logo
.
Passo 3
A massa é
Passo 4
O momento para
é
Integramos por partes (
,
) e obtemos
então
Passo 5
O momento para
é
Passo 6
Finalmente, pelas fórmulas do centro de massa: