Use integração dupla para calcular o volume de cada sólido.
O sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro (x^{2}+z=1), o plano (x+y=1), e os planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está no primeiro octante e é limitado por
  1. o cilindro x^2+z=1, que dá z=1 - x^2,
  2. o plano x+y=1,
  3. e pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0.
    Vamos usar integração dupla: projetamos o sólido no plano xy e, em cada ponto (x,y), a “altura” é zsup-zinf=1-x^2-0.

Passo 2

Determinamos a região de projeção D no plano xy. Das condições x>=0, y>=0 e x+y<=1 vem
D = l(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1-xr

Passo 3

O volume é
V = integral duplaD (1 - x^2),dA
Em coordenadas cartesianas, fazemos a integral iterada
V = integralx=0^1!integraly=0^1-x (1 - x^2),dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y, lembrando que 1 - x^2 é constante em y:
integraly=0^1-x(1 - x^2),dy = (1 - x^2)l[yr]0^1-x = (1 - x^2)(1 - x)

Passo 5

Agora integramos em x:
V = integral0^1(1 - x^2)(1 - x),dx = integral0^1l(1 - x - x^2 + x^3r),dx
Calculando,
integral0^11,dx = 1, integral0^1x,dx = tfrac12, integral0^1x^2,dx = tfrac13, integral0^1x^3,dx = tfrac14,
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V = 1 - tfrac12 - tfrac13 + tfrac14 = 12 - 6 - 4 + 312 = 512

Resposta

O volume do sólido é 512.

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