Use integração dupla para calcular o volume de cada sólido.
O sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro (x^{2}+z=1), o plano (x+y=1), e os planos coordenados.
O sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro (x^{2}+z=1), o plano (x+y=1), e os planos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está no primeiro octante e é limitado por
- o cilindro
, que dá , - o plano
, - e pelos planos coordenados
, , .
Vamos usar integração dupla: projetamos o sólido no planoe, em cada ponto , a “altura” é .
Passo 2
Determinamos a região de projeção
no plano
. Das condições
,
e
vem
Passo 3
O volume é
Em coordenadas cartesianas, fazemos a integral iterada
Passo 4
Integramos primeiro em
, lembrando que
é constante em
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Calculando,
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Resposta
O volume do sólido é
.