32 Suponha que A e B são constantes positivas e que a sequência an satisfaz |an| <= A B^n para todo inteiro positivo n. Prove que a série sumk=0^infty ak x^k converge se |x|<1 / B.

Passo 1

O enunciado diz que existem constantes positivas A e B tais que a sequência an satisfaz \r
lvert anrvert <= A,B^npara todo n>=0,\r
e pede para mostrar que a série de potências \r
sumk=0^inftyak,x^k\r
converge sempre que lvert xrvert<1/B. \r
O conteúdo principal é o teste da comparação com uma série geométrica e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Para aplicar o teste da comparação, estimamos o módulo de cada termo da série dada. Para todo k>=0 temos\r
lvert ak,x^krvert = lvert akrvert,lvert xrvert^k <= A,B^k;lvert xrvert^k = A,(B,lvert xrvert)^k

Passo 3

Se lvert xrvert<1/B, então o número \r
rho = B,lvert xrvert\r
satisfaz rho<1. Dessa forma a série geométrica\r
sumk=0^inftyA,rho^k\r
converge, pois\r
sumk=0^inftyA,rho^k = A,11-rho<infty

Passo 4

Como para todo k \r
lvert ak,x^krvert <= A,rho^k\r
e a série sum A,rho^k converge, pelo teste da comparação deduzimos que \r
sumk=0^inftyak,x^k\r
converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência.

Resposta

A série sumk=0^inftyak,x^k converge para todo x tal que lvert xrvert<1/B.

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