32 Suponha que
e
são constantes positivas e que a sequência
satisfaz
para todo inteiro positivo
. Prove que a série
converge se
.
Passo 1
O enunciado diz que existem constantes positivas
e
tais que a sequência
satisfaz \r
e pede para mostrar que a série de potências \r
converge sempre que
. \r
O conteúdo principal é o teste da comparação com uma série geométrica e o conceito de convergência absoluta.
O conteúdo principal é o teste da comparação com uma série geométrica e o conceito de convergência absoluta.
Passo 2
Para aplicar o teste da comparação, estimamos o módulo de cada termo da série dada. Para todo
temos\r
Passo 3
Se
, então o número \r
satisfaz
. Dessa forma a série geométrica\r
converge, pois\r
Passo 4
Como para todo
\r
e a série
converge, pelo teste da comparação deduzimos que \r
converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência.
Resposta
A série
converge para todo
tal que
.