26 Sebn é uma sequência dada e p é um inteiro positivo fixado, encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série sumk=1^infty(bk-bk+p). Supondo que lim n +infty bn=L, encontre uma fórmula para a soma da série sumk=1^infty(bk-bk+p).

Passo 1

O enunciado pede a soma parcial
Sn=sumk=1^nl(bk-bk+pr)
onde bn é dada e p é um inteiro positivo fixo. Vamos usar a técnica de somas telescópicas para achar uma expressão fechada para Sn e depois, supondo limntoinftybn=L, calcular
sumk=1^inftyl(bk-bk+pr)=limntoinftySn

Passo 2

Escrevemos
Sn=sumk=1^nbk;-;sumk=1^nbk+p
Reindexando o segundo somatório com j=k+p, para k=1,dots,n temos j=p+1,dots,n+p, logo
sumk=1^nbk+p =sumj=p+1^n+pbj

Passo 3

Então
Sn =sumk=1^nbk -sumj=p+1^n+pbj =l(sumk=1^pbk+sumk=p+1^nbkr) -l(sumj=p+1^nbj+sumj=n+1^n+pbjr)
Os termos sumk=p+1^nbk cancelam, sobrando
Sn =sumk=1^pbk -sumj=n+1^n+pbj

Passo 4

Se limntoinftybn=L, então para ntoinfty cada termo bn+1,dots,bn+p tende a L. Assim
sumj=n+1^n+pbj;longrightarrow;p,L quando ntoinfty,
e portanto a soma infinita é
sumk=1^inftyl(bk-bk+pr) =limntoinftySn =sumk=1^pbk-p,L

Resposta

Fórmula da n-ésima soma parcial:
Sn=sumk=1^nl(bk-bk+pr) =sumk=1^pbk-sumj=n+1^n+pbj
Fórmula da soma da série (quando limntoinftybn=L):
sumk=1^inftyl(bk-bk+pr) =sumk=1^pbk-p,L

Exercícios de Livros Relacionados