38 Suponha que y=r sen theta. Se valores errados são usados para r e theta, explique por que o erro aproximado no valor resultante de y não excede a |r cos theta||De<a theta|+|sen theta||De<a r|, onde De<a theta e De<a r são os erros de theta e r, respectivamente, sendo estes pequenos.

Passo 1

O enunciado define a variável dependente
y = r sintheta
e pede para mostrar, usando que os erros De<a r e De<a theta são pequenos, que o erro aproximado em y satisfaz
|De<a y|<= |rcostheta|,|De<a theta| + |sintheta|,|De<a r|
O conteúdo aqui é propagação de erros via diferenciais (aproximação linear).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de y em relação a r e a theta:
partial ypartial r = sintheta, partial ypartial theta = rcostheta

Passo 3

Usando a aproximação linear (diferencial), o pequeno incremento de y resultante de erros De<a r e De<a theta é
De<a y approx partial ypartial r,De<a r + partial ypartial theta,De<a theta = sintheta,De<a r + rcostheta,De<a theta

Passo 4

Para estimar o erro absoluto, aplicamos a desigualdade triangular:
|De<a y| <= |sintheta|,|De<a r| + |rcostheta|,|De<a theta|

Resposta

O erro aproximado em y não excede
|rcostheta|,|De<a theta| + |sintheta|,|De<a r|

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