Use o teste da comparação direta para determinar a convergência de cada série.
sumk=1^infty k^2k^2+2(13)^k)

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da comparação direta para estudar a convergência da série
sumk=1^infty k^2k^2+2l(tfrac13r)^k
O conteúdo envolvido é o teste de comparação direta de séries infinitas e o conhecimento de que a série geométrica
sum (1/3)^k converge pois sua razão é 1/3<1.

Passo 2

Denotando o termo geral por
ak=k^2k^2+2l(tfrac13r)^k,
observamos que, para todo k>=1,
0 <= k^2k^2+2 < 1 implies 0 <= ak < l(tfrac13r)^k

Passo 3

Sabemos que a série geométrica
sumk=1^infty l(tfrac13r)^k
converge (razão 1/3<1). Como 0<= ak <= (1/3)^k e a série comparadora converge, pelo teste da comparação direta a série dada também converge.

Resposta

A série sumk=1^infty k^2k^2+2(1/3)^k converge.

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