Use algum método apropriado para saber se cada série converge ou diverge. Se convergir, determine se a convergência é absoluta ou condicional.
51 \sum_{k=1}{\infty}(-1){k+1} e{-k{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=1^infty(-1)^k+1e^-k^2
O conteúdo é teste de convergência de séries alternadas (Leibniz) e análise de convergência absoluta (séries de termos positivos e comparação).

Passo 2

Verificamos que os termos gerais ak=e^-k^2 são positivos, formam uma sequência decrescente e têm limite zero:
ak+1=e^-(k+1)^2<e^-k^2=ak, limktoinftyak=limktoinftye^-k^2=0

Passo 3

Pelo teste de Leibniz (série alternada com termos decrescentes em módulo que tendem a zero), a série
sumk=1^infty(-1)^k+1e^-k^2
converge.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, analisamos
sumk=1^inftyl|(-1)^k+1e^-k^2r| =sumk=1^inftye^-k^2
Como para k>=1 vale
e^-k^2<= e^-k,
e sabemos que sum e^-k é uma série geométrica com razão r=e^-1<1, segue por comparação que
sumk=1^inftye^-k^2
converge. Logo a convergência é absoluta.

Resposta

A série converge e a convergência é absoluta.

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