Use o teste da integral para determinar se cada série converge.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral a fim de decidir se a série
converge. O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos, que exige escolher uma função contínua, positiva e (eventualmente) decrescente
tal que
, e avaliar
Passo 2
Definimos
para
. Note que
. Calculamos a derivada para verificar decrescimento:
Para
temos
, logo
. Assim, a partir de
a função é decrescente e podemos aplicar o teste da integral ignorando os primeiros termos.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral avaliando
Fazendo integração por partes em
:
Logo,
Quando
, todos os termos em
tendem a zero (pois
). Portanto
Como essa integral imprópria converge, o teste da integral diz que a série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.