Use o teste da integral para determinar se cada série converge.
sumk=1^infty k^2e^k)

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral a fim de decidir se a série
sumk=1^inftyk^2e^k
converge. O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos, que exige escolher uma função contínua, positiva e (eventualmente) decrescente f(x) tal que f(k)=ak, e avaliar
integral1^inftyf(x),dx

Passo 2

Definimos
f(x)=x^2e^x=x^2e^-x,
para x>=1. Note que f(x)>0. Calculamos a derivada para verificar decrescimento:
f'(x)=ddxl(x^2e^-xr) =e^-x(2x-x^2) =x e^-x(2-x)
Para x>=2 temos 2-x<=0, logo f'(x)<=0. Assim, a partir de x=2 a função é decrescente e podemos aplicar o teste da integral ignorando os primeiros termos.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral avaliando
integral1^inftyx^2e^-x,dx
Fazendo integração por partes em integral x^2e^-xdx:
integral x^2e^-xdx=-x^2e^-x+integral2x e^-xdx =-x^2e^-x-2x e^-x-2e^-x+C
Logo,
integral1^Rx^2e^-xdx =l[-x^2e^-x-2x e^-x-2e^-xr]1^R
Quando Rtoinfty, todos os termos em R tendem a zero (pois R^n e^-Rto0). Portanto
integral1^inftyx^2e^-xdx =l(0r)-l[-1^2e^-1-2cdot1,e^-1-2e^-1r] =(1+2+2)e^-1 =5e^-1<infty
Como essa integral imprópria converge, o teste da integral diz que a série original também converge.

Resposta

A série sumk=1^inftytfrack^2e^k converge pelo teste da integral.

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