Use o teste da integral para determinar se cada série converge.
sumk=2^infty ln kk)

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando o teste da integral, se a série
sumk=2^inftyln kk
converge ou diverge. O conteúdo é o teste de convergência de séries de termos positivos por comparação com uma integral imprópria.

Passo 2

Associamos à série a função contínua
f(x)=ln xx, x>=2
Verificamos que f(x)>0 para x>1. Para ver que f é decrescente para x suficientemente grande, calculamos a derivada:
f'(x) =1xcdot x - ln xcdot1x^2 =1-ln xx^2
Como 1-ln x<0 para x>eapprox2,718, segue que f'(x)<0 para x>=3. Logo, a partir de x=3 a função é positiva e decrescente, cumprindo as hipóteses do teste da integral.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral estudando
integral2^inftyln xx,dx
Fazendo a substituição u=ln x, du=dxx, obtemos
integral2^inftyln xx,dx =integralln 2^inftyu,du =[u^22]u=ln 2^utoinfty =limttoinfty(ln t)^22-(ln 2)^22 =+infty
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série também diverge.

Resposta

A série sumk=2^inftyln kk diverge.

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