Use os resultados envolvendo séries geométricas para encontrar a soma de cada série
sumk=2^infty[5(12)^k+3(13)^k])

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumk=2^inftygl[5l(tfrac12r)^k+3l(tfrac13r)^kgr]
Este é o somatório de duas séries geométricas. Lembrando que, para lvert rrvert<1, vale
sumk=N^inftyr^k=r^N1-r,
podemos aplicar essa fórmula a cada termo.

Passo 2

Separamos a soma em duas partes:
sumk=2^infty5l(tfrac12r)^k e sumk=2^infty3l(tfrac13r)^k

Passo 3

Para a primeira parte usamos r=tfrac12 e N=2:
sumk=2^inftyl(tfrac12r)^k =l(tfrac12r)^21-tfrac12 =tfrac14tfrac12 =tfrac12
Multiplicando por 5, obtemos
5cdottfrac12=tfrac52

Passo 4

Para a segunda parte usamos r=tfrac13 e N=2:
sumk=2^inftyl(tfrac13r)^k =l(tfrac13r)^21-tfrac13 =tfrac19tfrac23 =16
Multiplicando por 3, obtemos
3cdottfrac16=tfrac12

Passo 5

Somando as duas partes:
tfrac52+tfrac12=3

Resposta

3

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