Use integração dupla para calcular o volume sob o gráfico de cada função (f) e acima da região indicada ®.
f(x, y)=x y ; R: x{2}+y{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0

Passo 1

O enunciado pede o volume sob o gráfico de f(x,y)=x,y sobre a região
R=(x,y)mid x^2+y^2<=4,;x>=0,;y>=0,
que é um quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante. Vamos usar integração dupla em coordenadas polares para simplificar o cálculo.

Passo 2

Escrevemos o volume como a integral dupla
V = integral duplaR x,y;dA
Em coordenadas cartesianas isso seria complicado, mas em polares usamos
x = rcostheta,;y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta.

Passo 3

Em polares, R fica
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= tfracpi2
O integrando x,y vira
x,y = (rcostheta)(rsintheta)=r^2costhetasintheta,
logo a integral torna-se
V = integraltheta=0^pi/2integralr=0^2 l(r^2costhetasinthetar),r,dr,dtheta =integral0^pi/2!!costhetasintheta;l[integral0^2r^3drr]dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a parte radial:
integral0^2 r^3dr = r^44|0^2=2^44=4
Assim
V = 4 integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta

Passo 5

Agora a parte angular. Note que
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta =12integral0^pi/2sin(2theta),dtheta =12l[-tfraccos(2theta)2r]0^pi/2 =12cdot1 =12

Passo 6

Multiplicando os resultados,
V = 4 times 12 = 2

Resposta

O volume sob o gráfico de f(x,y)=x,y em R é 2.

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