Use integração dupla para calcular o volume de cada sólido.
O sólido no primeiro octante sob o plano (x+y+z=6) e interior ao cilindro parabólico (y=4-x^{2}).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante, limitado superiormente pelo plano
x + y + z = 6
e lateralmente pelo cilindro parabólico
y = 4 - x^2
Vamos usar integração dupla em coordenadas cartesianas: projetamos o sólido na região D do plano xy e integramos a função altura z=6 - x - y sobre D.

Passo 2

O volume é dado por
V = integral duplaD z ,dA = integral duplaD (6 - x - y),dA,
pois entre o plano x+y+z=6 e o plano z=0 a altura é 6 - x - y.

Passo 3

A projeção D é definida por
x>=0, y>=0, y<=4 - x^2
Como 4 - x^2>=0 implica 0<= x<=2, podemos tomar
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 4 - x^2

Passo 4

Montamos a integral iterada sobre D:
V = integralx=0^2 integraly=0^,4 - x^2(6 - x - y),dy,dx

Passo 5

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^4 - x^2(6 - x - y),dy = l[(6 - x)y - tfracy^22r]0^,4 - x^2 = (6 - x)(4 - x^2) - (4 - x^2)^22
Agora expandimos:
(6 - x)(4 - x^2) = 24 - 6x^2 - 4x + x^3, (4 - x^2)^22 = 8 - 4x^2 + x^42,
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integral0^4 - x^2(6 - x - y),dy = 24 - 6x^2 - 4x + x^3 ;-;l(8 - 4x^2 + tfracx^42r) = 16 - 2x^2 - 4x + x^3 - x^42

Passo 6

Falta integrar em x:
V = integral0^2l(16 - 2x^2 - 4x + x^3 - tfracx^42r),dx
Integrando termo a termo:
integral0^216,dx = 32, integral0^2(-4x),dx = -8, integral0^2(-2x^2),dx = -163,
integral0^2x^3,dx = 4, integral0^2l(-tfracx^42r),dx = -165
Somando tudo:
V = 32 - 8 - 163 + 4 - 165 = 28 - 12815 = 29215

Resposta

V = 29215

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