Use integração dupla para calcular o volume de cada sólido.
O sólido no primeiro octante sob o plano (x+y+z=6) e interior ao cilindro parabólico (y=4-x^{2}).
O sólido no primeiro octante sob o plano (x+y+z=6) e interior ao cilindro parabólico (y=4-x^{2}).
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante, limitado superiormente pelo plano
e lateralmente pelo cilindro parabólico
Vamos usar integração dupla em coordenadas cartesianas: projetamos o sólido na região
do plano
e integramos a função altura
sobre
.
Passo 2
O volume é dado por
pois entre o plano
e o plano
a altura é
.
Passo 3
A projeção
é definida por
Como
implica
, podemos tomar
Passo 4
Montamos a integral iterada sobre
:
Passo 5
Calculamos primeiro a integral interna em
:
Agora expandimos:
logo
Passo 6
Falta integrar em
:
Integrando termo a termo:
Somando tudo: