Use regressão por mínimos quadrados para ajustar uma reta a
0 2 4 6 9 11 12 15 17 19
5 6 7 6 9 8 7 10 12 12
Junto com a inclinação e a intersecção com o eixo , calcule o erro padrão da estimativa e o coeficiente de correlação. Faça um gráfico dos dados e da reta de regressão. A seguir, repita o problema, mas faça a regressão de em função de - isto é, troque as variáveis. Interprete seus resultados.

Passo 1

O enunciado fornece dez pares de observações (xi,yi) e pede:
-- ajustar por mínimos quadrados a reta que prediz y a partir de x;
-- encontrar a inclinação hat b e a ordenada na origem hat a;
-- calcular o erro-padrão da estimativa se e o coeficiente de correlação r;
-- desenhar o gráfico dos pontos e da reta ajustada;
em seguida, repetir trocando papéis de x e y.

Passo 2

Calcular as médias
bar x = 110sumi=1^10xi = 9,5, bar y = 110sumi=1^10yi = 8,2

Passo 3

Obter as somas de quadrados e de produtos centrados
Sxx=sum (xi-bar x)^2 =374,5, Syy=sum (yi-bar y)^2 =55,6, Sxy=sum (xi-bar x)(yi-bar y)=132,0

Passo 4

A inclinação e a interseção da regressão de y em x são
hat b = SxySxx = 132,0374,5approx0,3525, hat a = bar y - hat b,bar x = 8,2 - 0,3525cdot9,5 approx 4,8535,
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hat y = 4,8535 + 0,3525,x

Passo 5

O coeficiente de correlação é
r = SxyraizSxx,Syy = 132,0raiz374,5cdot55,6 approx 0,915
O erro-padrão da estimativa vem de
SSE = Syy - hat b,Sxy approx 55,6 - 0,3525cdot132,0 = 9,074,
se = raizSSEn-2 = raiz9,0748 approx1,065

Passo 6

No gráfico, marque cada (xi,yi) e sobreponha a reta
y = 4,8535 + 0,3525,x
Você verá que a reta passa “no meio” dos pontos, capturando a tendência positiva.

Passo 7

Para regredir x em função de y, invertemos os papéis:
hat b' = SxySyy = 132,055,6approx2,373, hat a' = bar x - hat b',bar y = 9,5 - 2,373cdot8,2 approx -9,9586
A reta ajustada é
hat x = -9,9586 + 2,373,y
O erro-padrão fica
SSE'=Sxx - hat b',Sxyapprox374,5 - 2,373cdot132,0=61,264,
se' = raizSSE'n-2 =raiz61,2648 approx2,767
O coeficiente r permanece 0,915.

Passo 8

Interpretação:
-- A regressão é assimétrica: a inclinação de y em x não é o inverso da de x em y, mas o produto das duas é r^2approx0,837.
-- O erro-padrão ao predizer x por y ( approx2,77) é maior do que ao predizer y por x ( approx1,07), pois a variabilidade de x não explicada por y é maior relativa à variabilidade de y não explicada por x.

Resposta

Inclinação de y em x: hat bapprox0,3525
Intercepto: hat aapprox4,8535
Erro-padrão da estimativa: seapprox1,065
Coeficiente de correlação: rapprox0,915
Regressão de x em y:
Inclinação hat b'approx2,373, intercepto hat a'approx-9,9586, erro-padrão se'approx2,767.

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