Use os resultados envolvendo séries geométricas para encontrar a soma de cada série
sumk=1^infty 2(-13)^k+7)

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumk=1^infty2l(-tfrac13r)^k+7
Isso é uma série geométrica infinita do tipo sumk=0^inftyar^k, que converge se |r|<1 e cuja soma é
a1-r

Passo 2

Para aplicar a fórmula, isolemos em l(-tfrac13r)^k+7 o fator que depende de k e o que não depende:
l(-tfrac13r)^k+7 =l(-tfrac13r)^7,l(-tfrac13r)^k
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sumk=1^infty2l(-tfrac13r)^k+7 =2l(-tfrac13r)^7sumk=1^inftyl(-tfrac13r)^k

Passo 3

Reconhecemos que a soma interna é uma série geométrica com razão
r=-tfrac13,
iniciando em k=1. Sabemos que
sumk=1^inftyr^k=r1-r para |r|<1
Aqui
sumk=1^inftyl(-tfrac13r)^k =-tfrac131-(-tfrac13) =-tfrac131+tfrac13 =-tfrac13tfrac43 =-tfrac14
Substituindo de volta,
2l(-tfrac13r)^7sumk=1^inftyl(-tfrac13r)^k =2l(-tfrac13r)^7l(-tfrac14r)

Passo 4

Calculemos agora
2l(-tfrac13r)^7l(-tfrac14r) =2cdotl(-1r)^7tfrac13^7cdotl(-tfrac14r) =2cdotl(-tfrac13^7r)cdotl(-tfrac14r) =24cdot3^7 =12cdot3^7
Como 3^7=2187, obtemos
12cdot2187 =14374

Resposta

14374

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