Use a série binomial para encontrar um desenvolvimento em série de potências para cada expressão. Em cada caso, especifique o intervalo de valores de
para os quais a expansão é válida.
Passo 1
O enunciado pede para escrever
como série de potências, usando a expansão binomial de
, e depois integrar termo a termo. Para isso, precisamos do teorema da série binomial e da troca de soma com integral.
Passo 2
Começamos pela expansão binomial. Para
vale
onde
Passo 3
Agora integramos termo a termo de
a
. Como
obtemos
Escrevendo os primeiros termos, lembrando que
,
,
, dá
Passo 4
A expansão binomial de
converge enquanto
, ou seja
. Como integramos de
a
, o resultado em série valerá para
.