Use a série binomial para encontrar um desenvolvimento em série de potências para cada expressão. Em cada caso, especifique o intervalo de valores de x para os quais a expansão é válida.
integral0^x raiz1+t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para escrever
integral0^xraiz1+t^2;dt
como série de potências, usando a expansão binomial de raiz1+t^2=(1+t^2)^1/2, e depois integrar termo a termo. Para isso, precisamos do teorema da série binomial e da troca de soma com integral.

Passo 2

Começamos pela expansão binomial. Para lvert t^2rvert<1 vale
(1+t^2)^1/2 =sumn=0^inftybinomtfrac12n(t^2)^n
onde
binomtfrac12n =tfrac12l(tfrac12-1r)l(tfrac12-2r)cdotsl(tfrac12-(n-1)r)n!

Passo 3

Agora integramos termo a termo de t=0 a t=x. Como
integral0^xt^2n,dt =x^2n+12n+1,
obtemos
integral0^xraiz1+t^2,dt =sumn=0^inftybinomtfrac12nx^2n+12n+1
Escrevendo os primeiros termos, lembrando que binomtfrac120=1, binomtfrac121=tfrac12, binomtfrac122=-tfrac18, dá
integral0^xraiz1+t^2,dt =x+x^36-x^540+x^7112-cdots

Passo 4

A expansão binomial de (1+t^2)^1/2 converge enquanto lvert t^2rvert<1, ou seja lvert trvert<1. Como integramos de 0 a x, o resultado em série valerá para lvert xrvert<1.

Resposta

integral0^xraiz1+t^2,dt =sumn=0^inftybinomtfrac12nx^2n+12n+1 =x+x^36-x^540+cdots, válido para lvert xrvert<1 á

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