Use a série binomial para encontrar um desenvolvimento em série de potências para cada expressão. Em cada caso, especifique o intervalo de valores de x para os quais a expansão é válida.
1raiz1+x^2)

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento em série de potências de
1raiz1 + x^2
usando a série binomial. O conteúdo aqui é a expansão de
(1+u)^alpha em torno de u=0, que requer saber o expoente alpha e escolher u de forma que a série resulte em potências de x.

Passo 2

A fórmula da série binomial generalizada é
(1+u)^alpha = sumk=0^infty binomalphak,u^k,
onde
binomalphak = alpha(alpha-1)cdots(alpha-k+1)k!
e essa expansão converge para |u|<1.

Passo 3

No nosso caso, igualamos
1raiz1+x^2 = (1 + x^2)^-tfrac12,
logo alpha = -tfrac12 e u = x^2. Substituindo na série binomial:
(1+x^2)^-tfrac12 = sumk=0^infty binom-tfrac12k,(x^2)^k = sumk=0^infty binom-tfrac12k,x^2k
Para reunir numa forma mais conhecida, usa-se
binom-tfrac12k = (-1)^k(2k)!4^k,(k!)^2,
de modo que
1raiz1+x^2 = sumk=0^infty (-1)^k (2k)!4^k,(k!)^2,x^2k

Passo 4

Escrevendo os primeiros termos da série, temos
1raiz1+x^2 = 1 ;-;tfrac12,x^2 ;+;tfrac38,x^4 ;-;tfrac1548,x^6 + cdots
A condição de convergência é |u|<1, ou seja lvert x^2rvert<1, portanto

Resposta

1raiz1+x^2 = sumk=0^infty(-1)^k,(2k)!4^k,(k!)^2,x^2k = 1 - tfrac12,x^2 + tfrac38,x^4 - tfrac1548,x^6 + cdots,
válida para lvert xrvert < 1.

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