Encontre o centro a, o raio R e o intervalo I de convergência das séries de potência dadas.
sumk=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 k-1) x^k)

Passo 1

O enunciado pede o centro a, o raio de convergência R e o intervalo de convergência I da série de potência
sumk=1^infty1cdot3cdot5cdots(2k-1),x^k
O conteúdo é raio de convergência de séries de potência e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Escrevendo a série no formato sum ck(x-a)^k, vemos que
ck = 1cdot3cdot5cdots(2k-1),
sempre multiplicando potências de x^k (sem deslocamento), portanto
a=0

Passo 3

Pelo teste da razão calculamos
L=limktoinftygl|ck+1,x^,k+1ck,x^kgr| =limktoinfty|ck+1/ck|;|;x;|
e como
ck+1=1cdot3cdots(2k-1)cdot(2k+1)=ck,(2k+1),
ficamos com
L=limktoinfty|(2k+1),x|=infty(forall xneq0)
Para convergir precisamos L<1, o que só ocorre se x=0.

Passo 4

Como só converge em x=0, o raio de convergência é
R=0
e o intervalo de convergência é
I=0

Resposta

a=0,;R=0,;I=0

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