Use o teste da integral para determinar se cada série converge.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
sumk=1^infty k10 + k^2
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes. Vamos definir a função
f(x) = x10 + x^2,
verificar que ela satisfaz as condições (positiva, contínua e decrescente, ao menos a partir de certo ponto) e então estudar a convergência da integral impropriamente:

Passo 2

Mostramos que f(x)>0 e contínua para todo x>=1. Para ver quando f fica decrescente, calculamos a derivada:
f'(x) = (10 + x^2)cdot1 - xcdot2x(10 + x^2)^2 = 10 - x^2(10 + x^2)^2
Como (10 + x^2)^2>0 sempre, o sinal de f'(x) vem de 10 - x^2. Assim f'(x)<0 para x>raiz10. Logo f é decrescente em [raiz10,infty). Para aplicar o teste da integral, basta notar que sumk=1^infty f(k) e integral1^inftyf(x),dx têm o mesmo comportamento de convergência, pois no intervalo [1,raiz10] tudo é finito e não altera o caráter de convergência.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral1^infty x10 + x^2,dx
Use a substituição u = 10 + x^2, logo du = 2x,dx, isto é x,dx = tfrac12,du. Então
integral1^R x10 + x^2,dx = integralu(1)^u(R) 1u,du2 = 12l[ln(u)r]u=10+1^2^u=10+R^2 = 12l(ln(10+R^2) - ln 11r)
Ao fazer Rtoinfty, ln(10+R^2)toinfty. Portanto
integral1^infty x10 + x^2,dx = infty

Passo 4

Como a integral diverge, pelo teste da integral a série
sumk=1^infty k10 + k^2
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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