Use o teste da integral para determinar se cada série converge.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes. Vamos definir a função
verificar que ela satisfaz as condições (positiva, contínua e decrescente, ao menos a partir de certo ponto) e então estudar a convergência da integral impropriamente:
Passo 2
Mostramos que
e contínua para todo
. Para ver quando
fica decrescente, calculamos a derivada:
Como
sempre, o sinal de
vem de
. Assim
para
. Logo
é decrescente em
. Para aplicar o teste da integral, basta notar que
e
têm o mesmo comportamento de convergência, pois no intervalo
tudo é finito e não altera o caráter de convergência.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Use a substituição
, logo
, isto é
. Então
Ao fazer
,
. Portanto
Passo 4
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.