Encontre a soma de cada série forçando os termos através de somas parciais a formar uma série de encaixe.
sumk=1^infty(sen 1k-sen 1k+1))

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumk=1^inftyl(sin1k-sin1k+1r).
O conteúdo principal é reconhecer que ela é telescópica e usar somas parciais para obter o valor da série.

Passo 2

Definimos a soma parcial
Sn ;=;sumk=1^nl(sintfrac1k-sintfrac1k+1r)
Observando os termos, vemos que quase tudo se cancela em cascata, sobrando apenas
Sn ;=;sintfrac11;-;sintfrac1,n+1,

Passo 3

Para obter a soma da série, levamos n a infinito. Como
limntoinftysintfrac1n+1=sin(0)=0,
temos
sumk=1^inftyl(sintfrac1k-sintfrac1k+1r) =limntoinftySn =sin(1)-0

Resposta

sin(1)

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