Utilize o algoritmo de fatoração L D L^{\prime} para descobrir uma fatoração da forma A=L D L^{\prime} para as seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a fatoração de uma matriz simétrica definida–positiva A na forma A = L\,D\,L', onde L é unitária (i.e.\ \ell_{ii}=1) e D é diagonal. Para isso usamos o algoritmo recursivo:
d_i = a_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} \ell_{ik}^2\,d_k
e, para j>i,
\ell_{ji} = \frac{a_{ji} - \sum_{k=1}^{i-1} \ell_{jk}\,\ell_{ik}\,d_k}{d_i}\,.

Passo 2

No passo i=1 não há somatório, então
d_1 = a_{11} = 2.
Para j=2,3:
\ell_{21} = \frac{a_{21}}{d_1} = \frac{-1}{2} = -\tfrac12, \quad \ell_{31} = \frac{a_{31}}{d_1} = \frac{0}{2} = 0.

Passo 3

No passo i=2:
d_2 = a_{22} - \ell_{21}^2\,d_1 = 2 - \Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2\cdot2 = \tfrac32.
Para j=3:
\ell_{32} = \frac{a_{32} - \ell_{31}\,\ell_{21}\,d_1}{d_2} = \frac{-1 - 0}{3/2} = -\tfrac23.

Passo 4

No passo i=3:
d_3 = a_{33} - \bigl(\ell_{31}^2\,d_1 + \ell_{32}^2\,d_2\bigr) = 2 - \Bigl(-\tfrac23\Bigr)^2\cdot\tfrac32 = \tfrac43.

Resposta

A fatoração LDL’ de A é
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[6pt] -\tfrac12 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & -\tfrac23 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & \tfrac32 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & \tfrac43 \end{pmatrix},
de modo que \,A = L\,D\,L'.)]

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